跨音速流、激波与含几何效应的混合型偏微分方程

本项目旨在研究截面具有收缩-扩张几何性质的管状区域或Riemann流形上定常（亚音速-超音速）跨音速流和（超音速-亚音速）跨音速激波特解的稳定性、唯一性，及相关双曲-椭圆复合型混合型偏微分方程的定解问题的提法及其适定性，以认识流体所据空间几何效应对方程的含跨音速流和激波的特解的存在性、稳定性和唯一性的影响，促进非线性双曲-椭圆复合型混合型方程理论的发展，并为研究更加复杂的气体动力学现象提供必要的准备。.我们将研究：（1）用定常可压缩Euler方程组描述的扩张管道中跨音速激波的唯一性；（2）作为对真实收缩-扩张喷管的一种近似，在一类度量具收缩-扩张性质的曲面上用定常Euler方程组描述的亚音速-超音速流的稳定性和唯一性。要解决的关键问题是如何有效地"分解"定常Euler方程组中的双曲与椭圆部分，理解它们相互作用的机制，以及如何利用方程中因区域几何效应而出现的低阶项来研究相关混合型方程。

本项目从数学理论角度应用偏微分方程的方法研究了定常可压缩无粘理想流体中若干特殊流动（如亚音速流、跨音速激波以及跨音速接触间断等）的存在性、稳定性和唯一性问题。.. 本项目中，我们发展了结合激波极线和椭圆型方程极值原理的新方法，证明了两维定常可压缩欧拉方程组控制的管道内跨音速正激波，附在无限长楔顶点的跨音速激斜波，以及一类Mach结构中跨音速激波与亚音速接触间断的整体唯一性；创新性地结合微分几何语言对双曲—椭圆复合—混合型的三维亚音速定常欧拉方程组给出了适当分解，证明了球对称跨音速激波的局部唯一性，其中发现了带Venttsel边界条件的非局部椭圆边值问题等新现象；结合变分方法及散度形拟线性椭圆型方程的正则性理论，证明了大扩张开口喷管内亚音速无旋欧拉流的存在性；运用间断跟踪法及双曲守恒律BV弱解适定性理论，证明了二维空间分离超音速气流与静止气体的一类跨音速接触间断的存在性、稳定性及唯一性；应用高维双曲型方程组带特征自由边界初边值问题的理论，解决了Lopatinskii行列式在算子象征的极点为零的情形得到能量估计的问题，就定常欧拉方程组证明了在三维情形这类跨音速接触间断的弱线性稳定性。.. 本项目研究的这些特殊流动在气体动力学中具有典型性，对于认识气体运动，开展相关数值计算及试验设计都有重要实际意义。对这些问题的研究涉及非线性双曲型、椭圆型及双曲—椭圆复合—混合型方程在各种几何区域上的特征或非特征自由边界问题，这使得我们所用或所发展的方法和技巧具有较强多样性和综合性。这些结果方法具有一定理论价值，有助于增进我们对欧拉方程组的理解，促进相关偏微分方程理论的发展及其他重要问题的求解。