二维FIR数字滤波器优化设计的二维优化算法研究

With the rapid development of multidimensional signal processing techniques, two-dimensional (2-D) FIR digital filters have been widely applied in image processing, sonar and radar signal processing, geophysical signal processing and so on. High compuational complexity is the major challenge encountered in the optimal design of 2-D FIR filters. For overcoming this difficult, taking advantage of the matrix form of the coefficients of 2-D filters, we would establish the optimization design models of 2-D FIR filters in matrix varibles and deduce their optimality conditions formed as matrix equations. Based on the optimality conditions, a matrix iterative algorithm and a generalized conjugate gradient algorihtm would be proposed for the weighted least squares design, and an iterative reweighted least squares algorithm would also be developed for the least lp-norm design. Those proposed algorithms that retain the natural matrix form of the 2-D fitler's coefficients are called two-dimension based algorithms and would achieve considerable savings in the memory space and the amount of computation required. Compared with existing methods, the proposed algorithms could provide a significant improvement in terms of the convergence rate, computational precision and numerical stability. Finally, convergences of those proposed algorithms would be established using the matrix analysis, the spectral theory of linear operators and the Hilbert space theory.

随着多维数字信号处理技术的快速发展，二维FIR数字滤波器被广泛用于图像处理，声纳信号处理，雷达信号处理，地震波信号处理等诸多方面。二维FIR数字滤波器优化设计的主要挑战是其高度的计算复杂性。针对此问题，本项目将充分利用二维FIR滤波器参数的矩阵形式，建立基于矩阵变量的二维FIR滤波器优化设计模型，推导出最优性条件，并以矩阵方程组形式表达。根据最优性条件，提出求解加权最小二乘优化设计的一种矩阵迭代算法和一种广义共轭梯度算法，和求解最小lp范数优化设计的一种迭代重加权最小二乘算法。所提出的算法中保持二维滤波器参数的原始矩阵形式，故称之为二维优化算法。这种结构将大大减小设计所需计算机内存，提高算法的计算效率，降低计算复杂性。所提出的算法将在收敛速度，计算精度及数值稳定性方面较现有算法有很大提高。最后，运用矩阵分析理论、线性算子谱理论和Hilbert内积空间理论证明所得算法的收敛性。

本项目主要研究了线性相位二维FIR数字滤波器的优化设计问题，包括矩形对称，中心对称和复共轭对称三种二维FIR数字滤波器。首先推导出这三种二维滤波器的幅频特性函数的参数矩阵表达方式，以这种表达方式为基础，建立优化设计问题的数学模型。.项目首先研究了矩形对称二维FIR滤波器加权最小二乘（WLS）设计问题。建立其数学模型，推导出最优性条件，并以矩阵方程形式表达。依据此最优性条件，提出两种矩阵迭代算法和一种广义共轭梯度算法。用线性算子理论证明了矩阵迭代算法的收敛性。用Hilbert空间内积理论证明了广义共轭梯度算法在有限步内收敛。.继而研究了中心对称二维FIR滤波器WLS设计问题。建立其数学模型，推导出最优性条件，并以矩阵方程组形式表达。依据此最优性条件，把矩形对称情况所得矩阵迭代算法和广义共轭梯度算法进行适当的修改，推广到中心对称二维滤波器设计问题，并证明了推广算法的收敛性。.研究了复共轭对称二维FIR滤波器WLS设计问题。建立了数学模型，求出最优性条件，并以矩阵方程组形式表达。把此前得到的广义共轭梯度算法推广到复共轭对称二维滤波器设计中，证明了算法在有限步内收敛。.研究了线性相位二维FIR滤波器最小lp范数和minimax优化设计问题。建立了数学模型，提出了一种基于矩阵变量的二维迭代重加权最小二乘（IRLS）算法。所得IRLS算法中使用广义共轭梯度算法解其中的WLS子问题，从而使所得二维IRLS算法能够快速收敛。.最后研究了线性相位二维FIR滤波器的约束最小二乘（CLS）设计问题。建立了此问题的数学模型，提出一种基于矩阵变量的二维积极集算法。本算法能有效设计带有幅值约束的二维FIR数字滤波器。.本项目所有算法都利用了二维FIR数字滤波器频率采样点成矩阵形式这一特性，运算中保持其矩阵形式，故称为二维优化算法。算法分析和设计实例都表明所提各算法较已有算法计算效率更高，占用计算机内存更小，能够有效且精确地设计各种优化指标下的线性相位二维FIR数字滤波器。