保险风险理论中一些最优和高斯极值问题

This project plans to draw on stochastic processes and stochastic control to study some optimal problems in insurance, and to use Gaussian extreme theory to consider asymptotic ruin probabilities in Gaussian risk model. By HJB equation, differential equation and its numerical solution, double sum method, we will settle some problems in insurance theory, including the optimal problem with dividend and investment under constraints, the optimal dividend problem with investment and penalty for ruin, the dividend problem for Spectrally Negative Lévy risk process in the Omega model, Parisian ruin problem and Gaussian extreme problem with Berman’s approach. These problems contain both some difficulties and new issues in finance and risk theory, and belong to interdisciplinary research involving different areas such as stochastic processes, insurance risk theory, stochastic control theory, Gaussian extreme theory and so on. Our research will not only greatly enrich the contents of finance and insurance mathematics, but also promote the development of stochastic optimal control and risk theory, especially on the constructions of solution of optimal equation and unified method to study extreme value problem in both discrete time and continuous time. Through deep study of stochastic processes in risk theory, we get the optimal reinsurance, investment and dividend strategy under different criteria and models, and the asymptotic ruin probabilities.

本项目拟利用随机过程和随机控制理论来考虑保险中的几个最优问题，并利用高斯极值理论来研究高斯风险模型下的破产极值逼近。通过HJB方程，微分方程及其数值解，二项和方法等解决风险理论中分红和投资受到限制下的最优分红问题；带投资和有破产罚金的最优分红问题，Omega模型下谱负Lévy过程的分红问题，Parisian破产问题和Berman方法下高斯极值问题。该项目研究的问题既有金融和风险理论中的遗留难点，又包含有最新课题，是随机过程理论，保险风险理论，随机控制理论以及高斯极值理论等领域的交叉研究。它不仅极大地丰富了金融和保险数学领域的研究内容，同时也将促进随机最优控制理论和保险风险理论的发展，特别是在最优方程解的构造和统一化的方法研究离散时间和连续时间下的极值问题。项目通过对相应风险理论中随机过程的深入研究，得到上述不同准则和模型下的最优再保险，投资和分红策略，以及破产概率的极值逼近。

随着金融和保险市场发展，保险行业的同业竞争加剧并且保险业务不断新增。本项目利用随机过程，随机控制和高斯极值理论研究了保险中的一些最优问题和高斯风险模型的极值问题。通过求解HJB方程和二项和方法等主要解决了以下几个问题：.（1）在保险公司购买非便宜的比例再保险且有无风险利率收入条件下，研究了扩散风险模型中带破产罚金的最优分红问题，得到了最优分红策略和值函数。.（2）对局部平稳高斯过程和非常值方差高斯过程，得到了Pickands网格和连续时间两种情形下的停留时的渐近尾估计，找到了Pickands常数的新表达形式并给出了该常数的一个严格下界。.（3）研究了平稳高斯过程停留时的尾分布在随机区间长度上的极值渐近，得到了其在四种随机区间长度上的尾渐近，为历史文献补充了第四种情形。.（4）研究并得到了多维高斯过程在正则分布的随机区间上的联合尾渐近，和多维再生风险模型的破产概率。. 本项目的研究内容贴近实际，研究方法有部分不同于历史文献，研究成果可以在一定程度上为保险公司和其他金融机构在风险度量和决策提供理论参考。