非凸特征值优化分解算法的理论与实现

特征值优化在物理，工程，统计，金融等领域有着广泛的应用，在算法研究方面，到目前为止解决得比较成功的是凸的最大特征值优化问题。而对在结构优化，应用统计，智能计算和金融管理等领域中有重要理论和应用价值的任意特征值函数等非凸特征值优化问题有效算法的研究还远不充分。本项目重点研究特征值函数的微分理论与三类非凸特征值优化问题的有效算法。研究内容包括任意特征值函数的微分分解理论，二阶展开理论与U-Lagrange的邻近点理论。以变分分析为工具，结合邻近束方法和半光滑Newton方法的理论与所获得的微分分解理论，构造所考虑的三类特征值优化问题的具有超线性收敛速度的数值算法,并将算法应用于求解有重要价值的矩阵L1范数优化问题和矩阵秩约束优化问题。预期获得的理论成果可对特征值优化的发展起推动作用，取得的算法成果将拓宽非光滑优化的应用领域。

特征值优化问题在国内外研究中一直是持续研究热点，在控制工程，统计，金融等领域有着广泛的应用。本课题研究了半无限最大特征值、非凸最大特征值、非凸任意特征值等函数的UV-分解理论，所研究的UV-分解理论包括其微分性质、空间分解和快速轨道一阶二阶性质，获得了一系列重要的理论研究成果；在这些理论成果指导下，提出了求解非凸非光滑优化和三种特征值优化的快速数值算法，并将所得结果应用于基因控制、蛋白质多肽鉴定、金融风险管理等领域中，这些理论和应用成果得到了大量数值实验的验证，形成了一套基本的理论体系，为后续相关研究提供了强大的理论技术支持，进一步丰富了非光滑优化算法及应用。