Finsler几何中的度量与几何流

In Finsler geometry,the projective and curvature properties can be used to explore the geometirc and topological properties of the metric. It is of great interest to find Finsler metrics with physical applications. Regarded as a bridge connecting geometry and integrable system, geometric flow guides people discover new metrics and integrable systems. It has attrached much attention among the experts in mathematical physsics, partial differential equatinos and geometry. We study the flag curvature, projective flat property, Landsberg curvature and Berwald curvature of Finsler metric to construct new meaningful metrics and provide classifictions. We also study the geometric flow in Finsler space and the motion of curves and surfaces specially. Further, we shall study the connection between Finsler metrics with special geometric properties and integrable systems so that we can get the geometric properties and physical background of these integrable systems. We aim to construct more Finsler metrics and integrable systems with applications.

在Finsler几何中，度量的曲率性质和射影性质能够揭示度量的几何特性和拓扑性质。寻找更多新的具有特殊曲率及特殊射影性质的Finsler度量是有趣的问题。另一方面，不变几何流作为联系可积系统与几何的桥梁引导人们发现更多有好的性质的度量和有意义的可积系统。近年来，此问题受到数学物理、偏微分方程方程与几何领域学者的广泛关注。本项目将从Finsler度量的旗曲率、射影平坦性、Landsberg曲率和Berwald曲率等方面深入探讨这些具有特殊几何性质的度量的构造和分类。同时，本项目还将研究Finsler空间中的几何流，特别是曲线及曲面的运动。研究一些特殊Finsler度量与可积系统之间的联系，进一步揭示这些可积系统的几何性质及其应用背景。从而构造更多有应用背景的Finsler度量和可积系统。

本项目围绕着Finsler 几何中的度量和几何流展开研究。在射影平坦具有常曲率的度量分类问题及其应用、Ricci 曲率的研究、数量旗曲率的研究、射影平坦Finsler度量的研究、对偶平坦度量的研究、与几何不变流相关的方程问题以及Landsberg度量和Berwald度量的研究、中得到了一系列原创性成果。已发表的主要研究结果包括：.（1）对Finsler度量的曲率性质的研究。首先，项目对射影平坦具有常数旗曲率的Finsler 度量进行分类刻画，并给出分类结果的具体应用，解决了这一从上世纪20年代开始悬而未决的问题。其次，项目对具有弱迷向旗曲率的Finsler度量进行研究，得出如果流形的维数在3维及以上那么这样的度量必定是Randers度量。再次，我们在Finsler 几何中提出一类新的Ricci 曲率张量并进行研究，讨论了它与其他几何量的关系。.（2）对Finsler度量的射影性质的研究。首先，项目围绕Hilbert第四问题的正则性情形，研究射影平坦的Finsler度量。我们引入一类新的Finsler度量，称为广义球对称度量。首先研究了射影平坦广义球对称度量的分类问题，得到了等价方程，从而得到了不少新的射影平坦度量。还研究了射影平坦广义-(alpha, beta)度量的构造，对其中的黎曼度量为射影平坦的情况下进行了分类。同时也构造了大量的新的射影平坦度量。此外，我们对与射影平坦度量密切相关的Douglas度量进行研究，并在广义-(alpha, beta)度量中构造了大量的新的Douglas度量。.（3）我们在对对偶平坦度量的研究中发现其等价方程可以利用Hamel’s 方程来进行求解，故而对其进行了刻画并给出了具体构造的方法，得到了一大批非平凡的对偶平坦度量。此外，此外，我们对新引进的广义球对称度量的对偶平坦情形也作了研究，得到了等价方程，并找到了特殊的对偶平坦度量。.（4）在与Finsler几何相关的不变几何流和方程方面，项目研究了（2+1）-维的Kaup–Kupershmidt (KK) 方程。并且证明此类方程事实上是一致Riccati展开（CRE）可解的。利用CRE 方法，给出了孤子和椭圆余弦波之间新的关联。此外，我们研究Landsberg度量，得到在某些情形下独角兽问题仍无解。但是，如果允许度量有奇点，我们可以找到不少非 Berwald的Landsberg度量。