迭代函数方程的若干论题

迭代根问题和迭代函数方程问题是迭代理论中的重要研究对象. 迭代根问题也是动力系统的基本问题之一. 近年来, 关于迭代根的逼近和数值计算有了极大的发展.迭代函数方程的研究起源于迭代根问题, 中国学者对这一问题进行了深入研究, 提出了结构算子法和小挪动映射逼近不动点法, 这是中国学者在该领域做出的突出贡献. 近年来, 关于非交换代数结构上的迭代方程也受到了人们的关注. 本项目将对迭代根和迭代函数方程的逼近和数值计算进行研究; 本项目将利用同调论研究迭代函数方程; 本项目还将探讨非交换代数结构上的迭代方程. 本项目的研究具有重要的理论意义, 将促进迭代理论的发展及其应用.

首系数问题源自多项式型迭代方程的求解，作为一个公开问题近年来广受关注。本项目在这个问题上取得了两方面的成果：局部扩张解和整体连续解。我们首先在多项式型迭代方程局部扩张解已有结果的基础上，给出了一类更一般的迭代函数方程具有局部扩张解的条件，推广了已有工作；注意到关于多项式型迭代方程整体连续解的已有成果都是在已知函数局部线性的条件下得到的，为了克服这一局限性，我们利用施罗德变换结合延拓的方法，研究了一类一般形式的迭代方程的整体连续解，证明了这样的方程在一定的条件下具有无穷多个整体连续解，推广了已有的成果并扩大了已知函数的范围。Hyers-Ulam稳定性问题近年来不但是函数方程领域的一个热点，而且这个概念还被广泛地引入到其他方程的研究当中。注意到关于迭代函数方程的Hyers-Ulam稳定性的研究，集中在一维的情形，项目组成员研究了高维空间级数型迭代函数方程的Lipschitz解的Hyers-Ulam稳定性。由于形式幂级数在研究动力系统和计数组合中具有关键性的作用, 并且任意一个形式幂级数都可由某个有限秩算子对的Kneading行列式来定义，所以研究在什么条件下Kneading行列式是有理的是很有意义的。我们得到了一个无限维空间上有限秩算子对的Kneading行列式何时是有理的一个充分条件。入状态分裂和出状态分裂是单边或双边马尔科夫转移理论中非常重要的操作。生成树不变量被很多学者进行了研究。 基于以上工作, 我们考虑一些其他的图结构如循环图和森林等在入状态分裂或出状态分裂下的一些不变量。