志村簇几何中的若干论题

The present project aims at some topics in the geometry of Shimura varieties. We will investigate the Andre-Oort conjecture and its generalizations for mixed Shimura varieties, and also study problems of Andre-Oort type in the framework of perfectoid spaces. For mixed Shimura varieties, we will focus on geometric properties of the intersection degrees of Galois orbits of special subvarieties and Hecke translation, and establish new cases of the Andre-Oort conjecture and its generalizations; using the theory of perfectoid spaces, we will study non-Archimedean geometric proofs of problems of Andre-Oort type on (mixed) Shimura varieties and Rapoport-Zink spaces, characterize special subvarieties by periodic and quasi-periodic orbits of Hecke translation and of Frobenius endomorphisms and their liftings, and establish main examples of the conjecture under suitable constraints.

本项目主要研究混合志村簇上的Andre-Oort猜想及其推广以及拟完全空间框架下的Andre-Oort型问题:　对于混合志村簇，研究特殊子簇的伽罗华轨道的相交次数和Hecke平移的几何性质, 证明Andre-Oort猜想及其推广形式的新情形; 利用拟完全空间的理论, 研究(混合)志村簇和Rapoport-Zink空间上的Andre-Oort型问题及其推广的非阿基米德几何证明, 用Hecke平移与Frobenius自同态及其提升的周期轨和拟周期轨刻画这些模空间中的特殊子簇，并在适当的辅助条件下建立猜想的主要例子。。

志村簇是现代数学中的重要研究对象，常见例子如模曲线和Siegel模空间等在算术几何、朗兰兹理论中起到重要作用。.Coleman-Oort猜想是志村簇几何中的重要课题。该猜想断言，当亏格充分大时，Siegel模空间中的正维数志村子簇中不存在稠密子集落在Torelli轨迹中；这也等价于断言Torelli轨迹在亏格充分大时只包含至多有限个复乘点。.围绕这一猜想我们从代数几何和算术几何角度开展研究，取得了一系列进展。我们利用曲面纤维化中的斜率结构研究了Torelli轨迹中曲线上Hodge向量丛的限制条件，利用示性类的性质证明Coleman-Oort猜想对一大类酉型志村簇，也对由广义corestriction构造给出的一类志村曲线成立。我们利用志村簇的紧化性质和超椭圆曲线上Hodge结构的代数分解，对超椭圆情形的Coleman-Oort猜想给出了完整的证明。我们还利用Faltings高度的有限性，结合复乘阿贝尔簇的Sato-Tate等分布律，证明一类复乘点不落在Torelli轨迹中，推进了Coleman-Oort猜想的研究。