单李群表示的几个问题

Group theory is known to be an essential tool in exploring the symmetry in physical, biological and computer scientific models. In particular, Lie groups play an important role in the study of quantum mechanics, quantum field theory and string theory. Therefore, in studying the representation theoretic aspects of Lie groups, we are able to lay a solid foundation on theoretical physics...We propose to study Dirac cohomology on complex simple Lie groups, along with the relationships between cotangent bundles of generalized flag manifolds and nilpotent orbits. More precisely, we plan to study scattered representations, which are the essential components of all unitary representations with non-zero Dirac cohomology. We will explore the structure of these representations, verifying a conjecture of Barbasch and Pandzic given in 2010. On the other hand, we will study of the spin-lowest K-types of scattered representations, and give a characterization of the spin-lowest K-types for complex classical groups. Finally, we plan to study the relationships between line bundles of the cotangent bundle of flag manifolds and the line bundles on certain nilpotent orbits. These relationships are significant in studying the normality of nilpotent varieties, and their corresponding quantization models.

群论为众多物理，生物或计算机的模型中出现的对称性提供了扎实的理论基础。其中，李群在量子力学，量子场论及弦论中，都有着重要的地位。所以，探索约化李群的特征，例如它们的表示论，对分析这些物理系统起着基础性的作用。..本项目将研究单李群上的狄拉克上同调，以及旗流形余切丛跟幂零轨道的关系。首先，我们准备研究在复单李群上的零散表示。在某程度上，它们代表了所有狄拉克上同调非零的酉表示。我们将会研究零散表示的结构，从而证明Barbasch跟Pandzic教授的一个猜想。此外，我们准备探讨在经典群中，零散表示的旋最低K-型。另一方面，我们准备探索广义旗流形余切丛上的线丛，以及幂零轨道上的线从的关系。这对于研究幂零轨道闭包的正态性，以及它们的量子化模型有重要的意义。

群论为众多物理，生物或计算机的模型中出现的对称性提供了扎实的理论基础。其中，李群在量子力学，量子场论及弦论中，都有着重要的地位。所以，探索约化李群的特征，例如它们的表示论，对分析这些物理系统起着基础性的作用。..本项目于单李群上的狄拉克上同调的研究有重大进展。首先，我们对复典型单李群上的零散表示完全分类。由此，我们成功证明了在复单李群上，Barbasch-Pandzic 旋最低K-型的重数为一的猜想。根据这些结果，对于复典型群，复例外群E7和实典型群GL(n,R)，我们将所有狄拉克上同调非零的酉表示完全分类。对于实经典李群例如 U(p,q)，Sp(2n,R) 和 SO*(2n) ，申请人和董超平教授成功算出大部分酉表示的狄拉克指标，并猜想它们包含所有狄拉克指标非零的酉表示。..以上结果，分别在7篇国际期刊（如 Adv. Math., Int. Math. Res. Not., Math. Zeit. 等）发表。对于GL(n,H) 和 Spin(n,C)，申请人的博士后张鸿锋与合作者也把狄拉克指标非零的酉表示完全分类，结果已经投稿。