材料疲劳断裂的分数阶建模及动力学分析

Fractional calculus plays an efficient role in characterizing history dependence, long-range interactions, and heredity. It is known that fractional calculus has important applications in viscoelastic mechanics, rheology, etc. Recently, it has been found that fractional Hadamard derivatives can describe fatigue fracture of materials very well. Although there are lots of research topics in studying fractional Hadamard derivative equations (FHDEs), the presnt program mainly focuses on the applications of FHDEs in the fatigue crack of materials and the dynamical behaviors of FHDEs. In details, the contents of this program are planned as follows. (1) The FHDE model for fatigue fracture of materials will be established. The linearized theorem of nonlinear FHDE will be built up and the stability criteria of the equilibrium to FHDE will be given. (2) The definition of the Lyapunov exponents for FHDE will be proposed and their bounds will be determined. (3) The numerical scheme for FHDE will be established by using the idea of finite part integral. The chaotic attractor of chaotic FHDE will be computed and graphically presented. Through these studies, the applicants wish to deeply develop the theory of fractional dynamics in order to provide solid theoretical fundaments and strongly technical support for real applications.

分数阶微积分是刻画历史依赖、长距离相互作用以及遗传特性的有效工具。现已知道，分数阶微积分在粘弹性力学、流变学等方面有着重要的应用价值。近期发现，分数阶阿达马导数方程能够很好地描述材料疲劳断裂现象。虽然分数阶阿达马导数方程有众多的研究课题，但本项目重点研究分数阶阿达马导数在材料疲劳断裂分析中的应用以及研究分数阶阿达马导数方程的动力学行为。具体内容如下：(1) 建立准确反映材料疲劳断裂的分数阶阿达马导数方程，研究非线性分数阶阿达马导数方程的线性化问题，给出平衡点的稳定性判据。(2) 定义非线性分数阶阿达马导数方程的李雅普诺夫指数，给出李雅普诺夫指数界的估计。(3) 利用有限部分积分的思想，建立分数阶阿达马导数方程的数值仿真格式，并计算混沌系统的混沌吸引子。通过本项目的研究，推动分数阶动力学理论的深入发展，为现实应用奠定坚实的理论基础和提供强有力的技术支持。

众所周知，分数阶微积分是刻画历史依赖性和全域相关性的有效工具。从现有文献来看，分数阶微积分在粘弹性力学、流变学等方面有着潜在的应用价值。近期发现，分数阶阿达马导数方程很适合刻画超慢过程的动力学演化规律，如固体材料的疲劳断裂、火成岩风化等。本项目旨在研究材料疲劳断裂中的分数阶阿达马导数方程的建模和动力学分析，为现实应用奠定坚实的理论基础和提供强有力的技术支持。. 此项目对如下问题进行研究并取得了进展。具体说来，主要有以下三个方面：(1) 研究了固体材料疲劳断裂中的线性分数阶阿达马导数方程平衡点的稳定性条件，并讨论了平衡点的对数衰减速度；然后建立了非线性分数阶阿达马导数方程的线性化定理，讨论了平衡点的局部对数衰减速度。(2) 讨论了非线性分数阶阿达马导数方程解对初值的连续依赖性，推导出了相应的变分方程，进一步定义了李雅普诺夫指数，运用建立的Gronwall不等式，估计出了李雅普诺夫指数的上界。(3) 建立了卡普托-阿达马分数阶导数的各种数值逼近公式：对于导数阶在(0, 1)内的情形，建立了L1, L1-2, L2-1σ计算公式；对于导数阶在(1, 2)内的情形，建立了L2, H2N2计算公式。并将L1-2, L2-1σ计算公式运用到混沌吸引子的计算。另外，运用卡普托-阿达马分数阶导数，建立了新冠肺炎奥密克戎变体的分数阶SEIR模型， 能有效预测相关数据。另一方面，将广义分数阶半变分不等式应用于固体粘弹性材料的碰撞问题，揭示碰撞发生的力学机制。.