控制系统的微分流形最优化降阶方法研究

In this project, based on differential manifolds, we will study the optimal model order reduction (MOR) methods for control systems, and will establish a theoretical framework of solving optimal reduced order model problems at the theoretical basis of differential manifolds. These methods to be studied could be applied to realize the design, optimization and simulation of control systems in control field. Linear systems, bilinear systems, general nonlinear systems and parameter systems will be studied. The basic means are the differential manifold theory, the reduced order theory, the simulation and computation tools of large data, and their applications in control systems. For parameter linear systems, the MOR methods based on a new compound norm defined on frequency domain and parameter space will be established, in which the compound norm is a key measurement criterion. For the bilinear systems, the cost functions will be represented by the controllability Gramian, the observability Gramian and the cross Gramian matrices. Then, they will be regarded as optimization problems on differential manifolds to be studied. For the general nonlinear systems, we first transform them into bilinear systems, and then reduce them further by the approaches established. The approximation process will be used to approximate the parameter nonlinear systems. After that, the corresponding MOR processes are explored from the point of view of interpolation functions in the tangent space of differential manifolds. This project is helpful to the development of the new research field of MOR, to promote the development of modern control theory and applications, and to train young academic researchers for Xinjiang.

本项目研究基于微分流形控制系统的最优化降阶方法，旨在以微分流形为理论依据，建立求解最优化模型降阶的理论框架，从而将这些方法应用到控制领域中以实现对控制系统的设计、优化及仿真。研究对象有线性系统、双线性系统、一般非线性系统和参数化系统；基本手段是微分流形理论、模型降阶理论和大数据量模拟计算，以及在控制系统中的应用。对于参数线性系统，运用微分流形上的优化算法，建立基于定义在频率域及参数空间中的复合范数为衡量标准的降阶方法；对于双线性系统，利用可控Gramian、可观Gramian及交叉Gramian矩阵来表示代价函数，将其视为微分流形上最优化问题来处理；对于一般非线性系统，将其转化为双线性进行降阶处理；对于参数非线性系统，采用近似化过程，在微分流形的切空间中，从插值函数角度研究相应的降阶过程。本项目有助于模型降阶新型研究领域的发展，促进现代控制理论与应用进步，为新疆地区培养年轻专业人才。

现代工程控制问题一般由大规模复杂微分方程描述，对其直接模拟计算量巨大难以满足现代科技对高性能计算的迫切需求。寻求高效可行的方法来降低控制系统的复杂度及规模，研究先进模拟方法的数学理论和应用，有助于控制系统理论的快速进步以及未来工业（如机器人产业等）的快速发展。本项目研究了基于微分流形控制系统的最优化降阶方法，以微分流形为理论依据，建立了求解最优化模型降阶的基本理论框架，并将这些方法应用到控制领域中，以实现对控制系统的设计、优化及模拟仿真。研究对象包括线性系统、双线性系统、一般非线性系统和耦合系统等控制系统；基本手段是微分流形理论、模型降阶理论和大数据量模拟计算。本项目在国际知名期刊上发表了53篇SCI期刊论文，以及获得1项新疆自治区科技奖（自然科学，二等奖），理论结果丰硕。. 针对线性系统，将频域H2性能指标的约束优化降阶问题转化为微分流形上的无约束优化问题，研究了全局收敛最优化降阶方法，保持了原始系统的结构性和无源性等动力学属性；对于双线性控制系统，利用可控Gramian、可观Gramian及交叉Gramian矩阵表示代价函数，在微分流形上处理投影机理下的最优化降阶问题；基于测地线、平行移动及黎曼梯度等几何理论建立了双线性系统的高精度微分流形降阶方法，分析了降阶算法的全局收敛性；对于非线性系统，采用近似化过程（如线性化、二次近似、二次双线性化等）技术进行处理，并从插值函数角度研究了新型非线性降阶方法。通过构造降阶系统，简化了控制系统的动态特性，对复杂控制系统的模拟、仿真、优化设计等过程提供了理论指导，并深刻揭示了控制系统的模型降阶方法的本质。本项目将所研究模型降阶方法应用于众多广泛控制系统，获得了良好的理论结果，促进了模型降阶新型研究领域的发展以及现代控制理论与应用的进步，同时为新疆地区培养了年轻专业人才。采用微分流形优化方法进行模型降阶研究具有丰富的内容，本地区项目是将微分流形理论应用于模型降阶的初步探索，该研究领域极需要进一步深入和细致的研究，未来5-10年形成标志性的国际理论成果。