有理曲面的μ基理论及其应用

The μ-bases of rational curves/surfaces are newly developed tools which play an important role in connecting parametric forms and implicit forms of rational curves/surfaces. Based on the existing research results of μ-bases for rational curves, we shall extend the theory of μ-bases to general rational surfaces. Develop efficient algorithms to compute μ-bases for general rational surfaces, and get the perfect algebraic and geometric properties. We shall present more applications of μ-bases in rational surfaces, such as: Compute the singular points, intersection curves and inflection points on the surfaces; Construct efficient algorithms to get the implicit equation for the rational surfaces; Get new proper parametric representations and so on. On the other hand, when begin with implicit surfaces, we also can construct the μ-bases then to get parametric forms. μ-bases for surfaces connect the two representations as well as the μ-bases for curves. The applicants have achieved some good theories on μ-bases for some special rational surfaces and are expected to get more great progress in this area, develop the value of μ-bases theory on computing algebraic geometry.

μ基是新近出现在几何造型领域中研究曲线和曲面性质与计算的一种代数工具，它提供了一种联系曲线和曲面的参数表示与隐式表示之间的桥梁。基于曲线μ基的优异成果，我们将把μ基的理论推广到一般的有理代数曲面上。研究一般有理曲面的μ基的高效算法，给出完善的有理曲面μ基的代数与几何性质。完成μ基在曲面造型中的重要应用：计算有理曲面上的特征点（奇异点，自交线，拐点等）；构造快速的有理曲面的隐式化方法；曲面重新恰当参数化等。并且对基于隐式方程表示的曲面，可以利用μ基构造它的参数表示，达到μ基在曲面表示上的二面性。项目申请人已经完成了某些特殊曲面的μ基的研究，有良好的理论基础，有望在μ基理论上有实质性的进展，发掘μ基在计算代数几何中的价值。

在本项目的资助下，项目负责人及团队系统研究了两类特殊曲面的mu基构造方法及其应用。针对双准线有理曲面、四元数有理曲面，完成了mu基及动平面的构造，利用对应系数矩阵的行列式完成隐式方程的计算，结果上较结式等经典结论更加高效且均不含有多余的代数分支。并且给出四元数有理曲面奇异点的计算方法，及判断有理曲面是否是四元数曲面的充要条件；此外，我们还研究了几何造型中常用的圆锥曲线、三次平面有理曲线，给出此类曲线mu基的显式表示，较基于高斯消元的mu基算法更加简单直观，并给出更加紧凑的隐式方程构造方法。在此基础上，可以更简洁，更直接的获得三次有理曲线的二阶奇异点位置信息，并且圆锥曲线有关结论可以推广到任意n维空间相对应的n次有理曲线上。最后，归纳了目前有理曲线曲面mu基的发展现状与问题展望，完善了有理曲线曲面mu基的理论框架。. 在项目执行期内，取得了较好的研究成果，课题组共发表已标注基金号的SCI检索论文4篇，另有在投文章1篇，培养硕士研究生1名，本科生2名。相关论文发表在《Computer Aided Geometric Design》、《Graphical Models》期刊上。在本项目的支持下，参加了第七届、第九届全国几何设计与计算学术会议（GDC2014，GDC2016），2016年墨西哥计算代数和几何建模国际会议（CAGM2016）等相关国内外会议若干次。完成项目的预定研究目标。