有理正交矩阵,图谱及其应用

This project studies graph spectrum, the problem of graphs determined by their spectra, reconstruction conjecture by the structure and property of rational orthogonal matrix. We focus on the following three problems. (1)Investigate the structure of fully indecomposable rational orthogonal matrices according to their levels, the relationship and difference of matrix similarity by real orthogonal and rational orthogonal matrix, rational orthogonal matrix and permutation matrix. (2)Construct cospectral graphs by means of rational orthogonal matrix. Unify rational orthogonal matrix, the number of closed walks and characteristic polynomial to study the graphs determined by adjacency spectrum, Laplacian spectrum and distance spectrum. (3)Research the sufficient condition of reconstruction conjecture and other topics related to graph spectrum by way of technique from spectral graph theory.

本项目通过有理正交矩阵的结构和性质对图谱, 谱确定问题, 重构猜想展开研究, 包括以下三方面研究内容: (1)按照有理正交矩阵的级研究完全不可分有理矩阵的结构, 研究实正交相似与有理正交相似, 有理正交相似于置换相似的联系与区别. (2)利用有理正交矩阵构造同谱图. 综合利用有理正交矩阵, 图的闭道数目, 图的特征多项式的性质研究由邻接谱, 拉普拉斯谱,距离谱等确定的图. (3)利用图谱的理论方法与技巧研究图可重构的充分条件, 及与图谱相关的其它专题.

图的谱确定问题与图的重构猜想是图谱理论与图论中两个重要且困难的问题。本项目按计划就有理正交矩阵的结构；有理正交矩阵在构造同谱图、谱确定问题的应用；有理正交相似与无理正交相似的区别与联系；广义同谱不变量；谱刻画；图的重构猜想等其它与图谱相关的专题展开了研究，取得如下重要结果：证明主特征值数目为n-1的广义同谱图若特征向量满足一定条件则它们的邻接矩阵可通过有理正交矩阵实现相似变换；给出了一个同谱图的邻接矩阵间仅存在无理正交相似的一个充分条件且找到了这样的一族同谱图；给出了任意图中长度不超过6的道数目的计数公式，得到了图广义同谱的新不变量，证明了一族格子图，长度为3或4的扩展路由其广义谱所确定；证明了两类偶棱柱是由其邻接谱所确定；完成了对第二大特征值不超过1的单圈图的谱刻画；给出了计算图的Q-特征多项式的两个似Schwenk-公式；构造并证明了一族广义同谱且一个为Hamiltonian而另一个为非Hamiltonian的同谱图对；证明并构造了存在恰有两个主特征值的图，使得它顶点具有的不同度的数目可以任意大；否定了关于图双变量积和多项式的一个猜想证明了完全图、完全二部图、正则的完全多部图、圈及以上这些图的补图由其积和多项式所确定。这些研究成果解决了前人提出的一些问题和猜想，促进了谱确定问题、图的重构猜想的研究，促进了图谱理论与图论的其它分支交叉和融合。