相依样本次序统计量及其在相依估价拍卖中的应用

This project plans to study the stochastic comparison of order statistics from dependent samples, and investigate the impact of valuations' dependence in auctions. Firstly, we focus on scenarios where marginals follow proportional hazard rate model, proportional reversed hazard rate model and single-parameter distribution model, respectively. We employ the copula, which has been widely used in financial engineering and risk management, to couple the marginal distributions to construct dependent samples. By employing copula theory and majorization theory, we obtain the stochastic ordering results between the largest, the smallest, the second largest, and the second smallest order statistics from samples having different dependence structures and different degree of heterogeneity, respectively. Secondly, with the help of the comparing results on order statistics from dependent samples in the first part, we employ copula to characterize valuations' dependence and investigate its role in auctions. Under the first-price or second-price auction model in which bidders' valuations are dependent and identically distributed, we obtain sufficient conditions for the existence of bidders' equilibrium bidding strategy and the corresponding explicit formula. Also, we investigate the effect of degree of dependence on the equilibrium bidding strategy and the final price of the auction. Finally, we concentrate on the first-price charity auction, the second-price charity auction and the all-pay charity auctions with a stochastic number of bidders. Bidders' equilibrium bidding strategies in these three auction formats are derived and efficiency for raising money of these three auctions are compared.

本项目拟研究相依样本次序统计量的随机大小和估价相依性对拍卖的影响。我们首先考虑边际分布分别服从比例失效率模型、比例反失效率模型和单参数模型的场景，利用在金融工程和风险管理中广泛应用的Copula函数耦合边际分布得到带有相依性的样本，借助majorization偏序理论，研究具有不同相依性结构和不同非齐次性程度的多个样本中，最大值间、最小值间、第二大次序统计量间和第二小次序统计量间的随机序大小。其次，借助前述相依样本次序统计量的研究结果，采用copula函数描述估价的相依性结构，我们考虑估价同分布且具有相依性的一、二级价格拍卖，给出了竞拍人均衡出价策略存在的充分条件及其解析形式，并研究相依性强弱对均衡出价策略及拍卖最终成交价的影响。最后，考虑参加人数随机且估价具有相依性的慈善拍卖，探讨了在一级价格、二级价格和全支付慈善拍卖中，竞拍人均衡出价策略的存在性问题，并比较三种拍卖募集善款效率的高低。

本项目主要研究相依性对样本次序统计量随机大小的影响、估价相依性对拍卖的影响以及元件寿命相依的协同系统备件分配问题。(1) 针对具有Archimedean copula相依性刻画的尺度比例失效率及尺度比例反失效率序样本，我们获得了样本极值间的通常随机序、失效率序、反失效率序和色散序存在的充分条件；考虑具有Archimedean copula相依性刻画的比例失效率及比例反失效率样本，我们研究了不同样本极值之间的失效率序、反失效率序和似然比序关系；针对密度函数或生存函数比值具有对数凹性质的随机变量，我们给出了通常随机序、失效率序、平均剩余寿命序、调和平均剩余寿命序和平均休止时间序的充要条件。(2)借助次序统计量与二级价格拍卖成交价间天然的联系，我们在特定分布下探讨了相依性对成交价的影响。（3）我们通过研究随机排列递增的有关性质，提出随机排列单调性的相依性结构，并在随机排列单调性、条件随机排列单调性等元件寿命相依性假设下，使用协同系统的最小割集分解及最小路集分解，讨论了具有对称结构或非对称结构系统的单一热储备备件分配策略；针对元件寿命及备件寿命具有条件随机递增性质的协同系统，在匹配热储备备件的分配策略上，我们给出了比较不同分配方式优劣的几个充分条件；进一步的，针对多热储备备件，在元件寿命独立但不同分布的协同系统中，我们得到了备件在对称元件及非对称元件间的最佳分配策略。. 本项目的研究成果丰富了相依样本次序统计量随机比较的理论结果，填补了文献中有关元件寿命相依的一般结构协同系统备件分配问题的空白，研究中采用的最小路集分解、最小割集分解与随机排列单调性相结合的方法，为研究一般协同系统的相关问题提供了新的思路。