基于不可压缩流体计算的高效能复预处理算法研究

Numerical computation for the motion of incompressible fluid flows has been a challenging area of research. This project noted the advances of the approximate inertial manifold method and the incremental unknowns method to the numerical computation of the two-dimensional incompressible Navier-Stokes equations in the form of lid-driven cavity flows. The research of its high efficient computing is still a problem in its infancy. We plan to pay our attention to the study on the discretized schemes related to this issue, and generalize them to forms in complex number. Our study will be on the highly efficient numerical methods for solving complex linear / non-linear equations, on the design of their splitting iterative schemes, theoretical analysis, and actual computation. And we get meaningful improvement afterwards. We will also focus on the study of lopsided preconditioned iterative scheme and its correponding SOR acceleration techniques. Thus adapted to further explore the improved modified HSS methods and the highly efficient lopsided preconditioning algorithms for complex saddle point problems and complex generalized saddle point problems..

不可压缩流体运动的数值计算，一直是一个充满挑战的研究领域。本项目注意到，目前国际上已将有关近似惯性流形方法、增量未知元方法发展到顶盖驱动方腔流形式的二维不可压缩Navier-Stokes方程的数值计算，其高效能计算问题研究尚处于起步阶段。我们将致力于研究与此问题有关的离散格式及其向复数形式的推广，研究复形式的线性/非线性方程组的高效数值方法，它们的分裂迭代格式设计及理论分析和实际计算，获得有意义的改进。我们还将着重于研究复方程组的新型而高效的偏向一侧的预处理迭代格式，相应的SOR加速技巧。由此进一步探讨适应于复鞍点问题、复广义鞍点问题的改进的修正HSS方法与偏向一侧的高效能预处理算法。

来自不可压缩流体及其各种特定情形流体问题的科学计算历来受到重视。一方面是数学物理方程数值解和流体计算的经典问题，另一方面是常见的离散形式的大规模、且呈结构性、鞍点状的待求解复系统，需要强有力的数值分析。两类问题形成我们研究的主要内容。近年迅速崛起的分数阶微分方程数值求解亦在具有深刻物理背景的流体计算中找到用武之地，事实上分数阶微分方程本身就可以在流体力学等许多学科中被提出。分数阶微分方程还可以用于解释和刻画一些复杂的网络与网络流的疑难问题。鉴于此，本项目在这些方面亦作了专门的研究。项目研究取得了一系列好的成果，它们相应包含三个方面：（一）数学物理方程现代数值解和流体计算的研究；（二）广义或奇异鞍点问题和一类复方程组的预处理分裂迭代方法；（三）分数阶、回火分数阶微分方程数值解和分数阶复杂网络的同步算法研究。我们综合运用了间断Galerkin方法、分裂方法、特征方法、变分方法、最优化方法、幂律分布、预估-校正、有限差分、Lyapunov原理、比较原理等多种理论和方法，克服了鞍点、奇异性、非线性、非对称、不相容、分数阶、非局部现象产生的一些本质困难，获得了好的结论。这些结论有的解决了难题，有的丰富了所在领域的理论和方法。