不可压缩流体问题自适应有限体积算法研究

How to improve the computational efficiency, using the minimum computational cost to get a satisfied solution is one of the research hots in computation science and engineering. This project researches the adaptive finite volume method for incompressible fluid problem. On the aspect of theoretical analysis, by applying the techniques established in adaptive finite element method and the properties of local function on each element, we develop an a posteriori error estimates of finite volume method for the steady Stokes and Navier-Stokes equations. For the unsteady problem, consider the effect of time term in the analysis of adaptive method, construct appropriate time or space reconstruction operators, combining with dual arguments, we discuss the adaptive finite volume algorithms for incompressible flow problem in time/space semidiscrete and space-time fully discrete formulations. On the aspect of numerical computations, we will design the program, calculate the errors of numerical solutions by using the established posteriori error estimates, such that we can adjust the local meshes and achieve the purposes of obtaining high precision numerical solutions with minimum computational cost. The investigations of this project contribute to the improvement and development of adaptive finite volume method for the incompressible flow problem and provide some economic approaches for the research and development of nonlinear science and the application of computational fluid dynamics in the engineering technology.

如何提高计算效率，用最小的计算代价获得满足精度要求的解一直是计算科学和工程领域的研究热点之一。本课题针对不可压缩流体问题，研究数值逼近中的自适应有限体积算法。在理论分析方面，结合自适应有限元方法理论分析技巧和单元上局部函数的性质，建立定常Stokes及Navier-Stokes方程的有限体积方法后验误差估计。对于非定常问题，考察时间项对自适应方法产生的影响，构造时间或空间重构算子，结合对偶分析技巧，研究时间/空间半离散及时空全离散形式的不可压缩问题自适应有限体积算法。在数值计算方面，我们将设计数值模拟程序，利用建立的后验误差估计子计算逼近解的误差，调整区域剖分的局部网格数，达到用最小计算代价刻画高精度数值解的目的。该项目的研究有助于完善和发展不可压缩问题自适应有限体积算法，并为非线性科学的研究和发展及计算流体力学在工程技术中的应用提供经济的研究途径。

对于复杂流体问题的计算，如何提高计算效率和计算精度，减小计算量或降低计算代价是一个重要的研究方面。有限体积方法是数值模拟复杂流体问题的高效手段，该方法既能向有限元那样处理复杂边界问题，又具有保持局部质量守恒性的特点。本项目考察考虑不可压缩流体问题的自适应有限体积算法。在理论分析方面，结合自适应有限元方法理论分析技巧和单元上局部函数的性质，建立了定常Stokes 及Navier-Stokes 方程的有限体积方法后验误差估计。在数值计算方面，利用建立的后验误差估计子计算逼近解的误差，调整区域剖分的局部网格数，达到用最小计算代价刻画高精度数值解的目的。. (1) 考察了定常STOKES方程的有限体积方法的后验误差估计和自适应算法研究。在研究中我们考虑了基于最低等阶有限元配对的稳定化算法，给出了上下界及误差估计子，并建立了残量型L2误差上界。分析了非定常OSEEN问题有限元方法的后验误差估计。通过构造OSEEN重构算子，分析了空间半离散和时空全离散的后验误差子，我们的方法具有证明简单、构造方便的特点，数值试验验证了所建立误差估计子的有效性。. (2) 考察了定常和非定常自然对流问题的解耦算法和投影算法。在这一部分中，我们在理论上给出了定常和非定常自然对流问题的L2范数下的最优误差估计。并分析和比较了两层算法的有效性。. (3) 考察了定常和非定常自然对流问题的投影算法，建立了一阶和二阶时间离散的投影格式，给出了数值解的稳定性和收敛性。对于复杂流体问题，简化数值求解格式是解决问题的关键。. (4) 采用两层格式分析了Navier-Stokes/Darcy模型，MHD模型以及Navier-Stokes模型。考察了这些问题数值格式的稳定性和收敛性，并结合数值算例验证算法的有效性。. 通过该项目的研究，探索了STOKES问题的自适应和后验误差理论，建立了复杂流体问题的几种高效数值算法，并对有关算法给出了稳定性和收敛性分析，提供了丰富的数值模拟结果，并对计算流体力学等相关学科的发展提供一定的理论支撑。