随机传染病模型渐近性质的研究与预测

Epidemiology has been an interesting topic because of its great damage to the public health. Recently, many authors have considered the stochastic epidemic models described by stochastic differential equations, and studied the stochastic stability, the global stability, which can describe some dynamic properties of epidemic models. But these dynamic properties can not provide a good description of recurrent diseases and the sudden extinction. In the real world, the transmission of infectious diseases may be affected by many stochastic factors, such as temperature, rainfall and pressure. In such cases, different types of coefficients may be stochastically perturbed at the same time or considered as hybrid or affected by some delaying factors. Here, we will study the recurrence and the ergodic property in the corresponding models by stochastic Lyapunov functions, auxiliary equations, Girsanov transformation and stopping times, which can provide a good description of recurrent diseases and give the asymptotic estimation for the time when the disease level is high by our analytic results and the small perturbation theory for diffusion processes. By analytical results, we will give an explanation of some epidemiological phenomena in the transmission of infectious diseases, the prediction of time when infectious diseases are at the high level and will give a guide to the prevention of epidemics combined with statistical techniques.

由于传染病对公共健康的危害，众多学者建立了各种模型对其进行研究。近年来，考虑到疾病传播过程中随机因素的影响，众多学者利用随机微分方程建立了随机传染病模型，研究了其随机稳定性、全局稳定性等行为。这些性质不能很好地解释一些疾病的反复流行、突然性消亡等现象。而且在实际中，考虑到温度、气压、降水等因素变化，模型参数往往受到多种交互性随机扰动、为马氏混合型或受到时滞效应影响，因此，本项目拟通过随机李亚普诺夫函数分析方法、辅助方程、Girsanov变换和停时方法等研究其在不同环境因素下的遍历性、常返性、分布的弱收敛和指数性消亡等渐近性质，从而用于解释疾病的反复流行、突然性消亡等疾病传播过程中出现的生物现象，并利用得到的研究成果和小扰动理论对疾病高发时刻进行预测。通过对以上内容的研究与探索，我们将解释疾病传播中的一些现象和规律，结合有关方法为疾病控制与预测提供理论支持与依据。

本项目研究了一类随机扰动下人口模型的相关遍历性质，其遍历性质即过程的大数定律可用于统计推断，同时扰动的存在使得模型呈现出（正）常返性。对于随机过程的稳定性而言，遍历性与（正）常返性一直是关注的对象，从不同角度，各个学者也有其不同定义，在一定条件下其定义也有其等价之处。我们主要研究疾病模型在哪些条件下模型种群会消亡即模型相关种群会依某种拓扑收敛到零点，哪些条件下会收敛到一个支撑不包括零点的平稳分布，并尽可能使得条件为充分必要条件。针对一类社会心理传染病模型，在一定条件下我们得到了上述的一些结果。同时，在追踪文献时，我们发现了一种处理技术，利用Fller性、不变控制集相关理论和支撑定理可以在某种程度上更加直观有效地探索充分必要条件，特别地，扰动非退化时，处理更加简单。在研究人口模型的同时，基于经济框架下利用随机分析技巧研究了一些内幕交易模型，得到了一些内幕交易行为的性质与直观理解。在研究过程中，我们发现了系统在外在操作下（非扰动情形）下可能对原系统产生一些本质影响，基于此，我们引入合适的随机测度，并得到了一些不太容易想到的结论，如在非线性发生率策略要比线性模型严格优。这些会在我们后续的研究中得到体现。