非线性椭圆问题的解及其性质研究

本项目应用临界点理论，结合非线性椭圆问题研究的方法，研究非线性椭圆方程和方程组解和多解的存在性，解与区域的拓扑和几何形态的关系，区域的几何和拓扑对解的存在性以及解的个数的影响；解与系数的关系，系数形态对解的个数的影响，系数变号时解的存在性以及解的渐进性质。讨论奇性解在奇点附近的渐进性质，奇性解的存在性；流形上非线性椭圆问题解和多解的存在性．

本项目按照申请书的规划，主要对以下几方面的问题进行了研究。.1. 研究了Henon型方程组解的渐进性质，证明了当非线性项的增长指数逼近临界指数，或Henon项的指数趋于无穷时，方程组的解的分量函数的最大值都趋于区域边界的同一点；研究了临界增长的Henon型和部分Henon型方程解的存在性和对称性。.2.研究了含分数次拉普拉斯算子的非线性方程及相关问题。讨论了分数次Sobolev空间的最佳常数与相关变分问题的关系；研究了对应于Bessel位势的分数次算子的场方程基态解的存在性和无穷多解的存在性，解的指数衰减性；证明了临界增长的分数次拉普拉斯方程的边值问题无穷多解的存在性，研究了含分数次拉普拉斯算子的非线性方程解的正则性。.3. 研究了分数次Schrodinger算子对应的积分方程组解的对称性和正则性；建立了含双权的具有Bessel位势和其他位势的Hardy-Littlewood-Sobolev不等式，由此证明了相应的积分方程（组）解的对称性和正则性。.4.研究了含奇点在边界的Hardy项的非线性椭圆问题解的存在性和无穷多解的存在性。.5.研究了黎曼流形上的扰动的非线性Schrodinger方程多解的存在性；讨论了系数变号的场方程解的存在性，解的渐进性质和解的形态的刻画。.以上结果分别发表在14篇学术论文中，见研究成果列表。