Frobenius定理的应用与子群的自同构导子

In 1895, Frobenius proved the famous Frobenius' theorem in group theory, which has a wide range of applications. In 2011, the applicant proposed an inverse problem to Frobenius' theorem and gave some classifications of finite groups in certain particular conditions. In addition, it seems interesting to study automizesrs of some particular subgroups and to decide the structure of finite groups with few non-cyclic or non-abelian subgroups. In the project, we will continue to deepen, expand and improve the existing works, and we mainly study the following contents: (1) To investigate some applications of Frobenius' theorem; (2) To give complete classifications of finite groups with small or large automizers of certain particular subgroups; (3) To give complete classifications of finite groups with few non-cyclic or non-abelian subgroups.

1895年，Frobenius证明了群论中著名的Frobenius定理，该定理有着广泛的应用。2011年，申请人提出了关于Frobenius定理的反问题，并给出了某些特定情形时的有限群的分类。另外，研究子群的自同构导子以及完全决定具有较少非循环（非交换）子群的有限群结构也是很有意义的课题。本项目将深化、扩展和完善已有的工作，主要研究以下三个方面的内容： （1）研讨Frobenius定理的若干应用； （2）完全分类若干特定子群的自同构导子是小的（或大的）有限群； （3）完全分类具有较少非循环（非交换）子群的有限群。

本项目主要研究Frobenius定理的逆问题以及特殊子群对有限群结构的影响，主要包括三个方面的研究内容：(1)刻画了Frobenius全局宽为4的有限群结构；证明了Frobenius全局宽不超过7的有限群必为可解群，进一步决定了Frboenius全局宽为8的有限非交换单群，提出Frobenius谱的概念；(2)刻画了每个循环子群具有小的自同构导子的有限群，并证明了如果G的每个Sylow子群具有小的自同构导子，则G是幂零群；(3) 借助群阶的素因子个数，研究有限群的非特殊子群的共轭类数，证明了满足一定条件的有限群必是可解群, 并给出了某些条件下的有限群的同构分类。