Fourier乘子意义下的Fueter映射定理及其应用

The Fueter mapping theorem states that there exists a Fueter mapping that can build the connection between the holomorphic functions in complex analysis of one variable and the axially monogenic functions in Clifford analysis. The development of the Fueter mapping theorem relies heavily on the parity of dimension n+1 of underline space of axially monogenic functions. When n being odd, the Fueter mapping theorem and its related theory are developed well. Some applications of the Fueter mapping theorem are found. For example, it is not easy to generalize the theory of the L^2 boundedness of the Cauchy integral operator on Lipschitz curve to the theory on Lipschitz surface. Because it is harder to estimate the related kernel functions when the dimension incres. But Fueter mapping theorem can solve the problem. However, when n being even, there are few works related the topic. Recently, we prove that the Fueter mapping theorem is also correct for n being even. The above application needs the condition “n being odd”, so we expect that our new result can have a positive progress on this topic. Another part of the project is to develop the theory related the Fueter mapping theorem, that is, find some connection between the holomorphic functions in complex analysis of one variable and other type monogenic functions in Clifford analysis.

Lipschitz曲线上Cauchy积分算子的L^2有界性问题在往高维发展时，由于维数增加，给相应核函数的估计带来了本质困难。Fueter映射定理的介入为高维核函数的估计提供了一条可靠的方法。.Fueter映射定理建立了单变量复分析解析函数与Clifford分析中的轴型解析函数之间的联系，但其发展严重依赖轴型解析函数底空间维数n+1的奇偶性。当n为奇数时，Fueter映射定理及其后续理论发展迅速。但n为偶数时，相应工作几乎空白，直到最近我们证明了Fueter映射定理对n为一般自然数时均成立。本课题拟继续发展后继理论：刻画单变量复分析中的解析函数与Clifford分析中更一般解析函数之间的联系，完善Fueter映射定理的理论研究。.关于应用部分，我们期待新Fueter映射定理在Fourier乘子核函数估计问题的研究中能有新的应用；并考虑相关核函数所对应的算子在一些函数空间中的有界性问题。

对于Lipschitz曲线上的Cauchy积分算子的研究，长期以来由于本质上的困难，进展缓慢。直到Coifman, McIntosh和Meyer利用多线性算子理论解决了Cauchy积分算子在一般Lipschitz曲线上的L^2有界性问题。作为上述问题向高维空间的推广，相应的问题是Lipschitz曲面上Cauchy积分算子的L^p有界性问题。由于维数的增加，给高维核函数的估计带来了新的困难，需要引入新的方法和思路。一个很有创意的想法是将\mathbb{R}^{n+1}嵌入到Clifford代数中，利用Clifford分析的工具来研究该问题。由于高维核函数的估计是复杂的，是否可以找到这样的一个映射，将高维的核函数与单变量复分析中的本征解析函数建立联系，从而估计高维核函数这个复杂的问题就转化为估计相对简单的单变量复分析中的本征解析函数。实现这一重要环节的映射正是Fueter映射。本项目的主要研究内容为Fueter映射定理及其逆定理相关问题，主要建立了单变量解析函数与Clifford解析函数之间的联系，建立了平面上调和函数与Clifford分析中调和函数之间的联系。