关于广义Norm与Frobenius定理的广义逆问题的研究

Let G be a finite group, the norm of G, denoted by N(G), is the intersection of the normalizers of all subgroups of G, we will consider some generalizations of norm. For example, we will study the influence of the properties of the subgroup V(G) which is the intersection of the normalizers of centers of all subgroups of G, and that of the intersection of the normalizers of the supersolvable residuals or the Sylow tower residuals of all subgroups of G (denoted by WS(G), WT(G), respectively). If we have G＝V(G)，or G＝WS(G)，or G＝WT(G), we will investigate the structures of G. Let G be a finite group and e be a positive integer dividing the order ｜G｜ of G, and write Le(G)＝{x∈G|xe＝1}, then there are some connections between the size of Le(G) and the structure of G. Given a positive integer n, let b(n) be the number of elements in the set { x∈G|xn＝1}, we will study the structural properties and the classifications of G such that b(n)≤f(n) for all divisors of the exponent of G, where f(n)＝cn2 and c is a constant such that c>1.

设G是一个有限群，G的norm(用N(G)表示）是G的每一个子群的正规化子的交。作为norm的推广，我们将研究有限群G的所有子群的中心的正规化子的交(用V(G)表示之)的性质对群结构的影响，以及一个有限群G的所有子群的超可解剩余或西洛塔剩余的正规化子的交(分别用WS(G)、WT(G)表示之)的性质对群结构的影响，并确定某些满足G＝V(G)，或G＝WS(G)，或G＝WT(G)的有限群G的结构。对于有限群G，集合Le(G)＝{x∈G|xe＝1}的大小与群G的结构有一定关系，其中e是G的阶｜G｜的任意一个正因子。对于正整数n，令b(n)为{ x∈G|xn＝1}中元素的个数，设c是大于1 的常数，函数f(n)＝cn2，我们将研究满足b(n)≤f(n)的群的结构性质与分类问题。

一个有限群G的norm，就是群G的每个子群的正规化子的交，而群G的广义norm是指某些特殊子群的正规化子的交，如群G的每个子群的中心的正规化子的交、群G的每个子群的超可解剩余的正规化子的交、群G的每个子群的西洛塔剩余的正规化子的交，等等。本项目的研究目标之一是研究有限群的norm或广义norm对群结构的影响。当有限群G的norm商群G/N(G)的Sylow子群皆为循环群时，我们确定了群G的结构。对于群G的广义norm的性质及其对群结构的影响，我们没有完成项目原定的目标。本项目的另一个研究目标是对Frobenius定理的广义逆的研究。给定一个有限群G，对于G的阶｜G｜的任意一个正因子e，定义集合Le(G)＝{x∈G | xe=1}，则存在正整数k，使得| L(G)|＝ke。令k(G)＝max{k | |Le(G)|＝ke，e取遍｜G｜的所有正因子}. 我们原来希望完成满足6≤k(G)≤9且2≤π(G)≤4的群G的同构分类，但我们没有完成这一目标。不过为了完成上述目标，我们研究了下面的问题：设p，q为不同的奇素数且p＞q，当G是p3q3阶群时，我们完成了群G的同构分类研究。我们还完成了Sylow p-子群循环的pnq2阶群G (其中p, q是两个奇素数，且p＜q，n是正整数)的同构分类问题；以及一类p4q阶群G 的构造(其中p，q为不同的奇素数)，即当Sylow p-子群是幂零类为2且有非交换极大子群的p4阶p-群时p4q阶群G 的构造。我们按计划，正在撰写一部关于有限群构造的入门专著，用简明的文字介绍本项目及项目主持人以往完成的群论研究工作。