双稳态参数激励摆系统的非线性动力学行为研究

Parametrically excited pendulum has rich dynamic phenomena and broad application prospects, which has attracted much attention from researchers at home and abroad. This proposal is to innovatively present a novel parametrically excited pendulum system with bistable characteristic based upon the conventional parametrically excited pendulum and the recently proposed SD (Smooth and Discontinuous) oscillator, which is a strongly nonlinear system with the coupling of trigonometric function and irrational terms. Meanwhile, this system exhibits both smooth and discontinuous dynamics. With the help of theoretical analysis, numerical calculation and dynamic experiment, the complex nonlinear dynamic behavior and response mechanisms of the proposed system have been investigated including periodic solution, chaos, resonance and so on. Furthermore, the analytical methods of this system are developed to show completely the global dynamic behavior of the periodic motion under large amplitude rotation, describe precisely the local dynamic characteristics of subharmonic resonance response under small amplitude vibration and reveal the essential nonlinearity of the cylindrical bistability and discontinuity. Combined with the dynamic experiment, the complex periodic and chaotic phenomena of the proposed system are verified visually. This proposal aims to study the complex dynamic behavior of the parametrically excited pendulum system with bistable characteristic, enrich the research content of nonlinear dynamics and discuss its application in the collection and utilization of marine energy.

参数激励摆具有丰富的动力学现象和广阔的应用前景，作为典型的参激振动问题受到国内外学者的广泛关注。本项目基于参数激励摆和 SD 振子研究创新性地提出双稳态参数激励摆系统，该参激振动系统具有无理型和三角函数型耦合的强非线性特征，表现出光滑和不连续的柱面双稳动力学特性。采用理论分析，数值计算和动力学实验相结合的方法研究该系统的周期、混沌、共振等复杂非线性动力学特征与响应机理；提出该系统的解析研究方法，完整描述其大幅旋转周期运动所呈现的全局动力学行为，克服传统近似方法仅适用于刻画局部性质的局限性，精确描述其小幅振动下的亚谐共振响应等局部动力学特征，揭示其柱面双稳态和不连续的本质非线性；厘清该系统丰富的周期和混沌运动规律，结合动力学实验可视化地验证其复杂的周期和混沌等动力学现象。本项目旨在研究双稳态参数激励摆系统的复杂动力学行为，丰富非线性动力学研究内容，探讨其在海洋能源收集利用等领域的应用研究。

2017年项目负责人基于双稳态旋转摆模型提出的双稳态参数激励摆系统是一类典型的几何非线性系统，展现出光滑和不连续的动力学行为。主要完成的研究内容：（1）描述了参数激励摆系统的光滑动力学行为向不连续动力学行为转迁的特性；（2）发展了广义Melnikov方法，半解析研究了摆型同宿轨道和Duffing型同宿轨道的稳定流形和不稳定流形横截相交出现Smale马蹄意义下混沌的阈值；解决了无法求解奇异闭轨线解析表达式和无法计算Melnikov广义积分的难题；（3）基于广义平均法，构造等价的近似系统，解析分析了该双稳态参数激励摆光滑和不连续系统的共振响应；克服了传统截断方法对光滑的局限性，成功地描述了不连续系统的共振响应；（4）发展数值计算方法，描述了双稳态参数激励摆系统复杂的分岔、周期和混沌运动；借助数值积分计算得到了不连续系统类同宿轨道对应的混沌阈值；（5）基于非线性动力学理论分析和证明了常数激励下双稳态旋转摆系统的旋转极限环的存在性和唯一性；（6）研究了多重激励下双稳态旋转摆系统的周期和混沌运动，厘清了双稳态旋转摆系统的摆动和旋转等复杂运动规律。研究成果：发表学术期刊论文7篇，其中6篇SCI；参加了包括“2019中国力学家大会”，“第十一届全国动力学与控制学术会议”和“第十七届全国非线性振动暨第十四届全国非线性动力学和运动稳定性学术会议”等在内的国内会议、学术交流和调研等20人次，做为主要会务组成员参与举办1次国际会议和1次国内会议；培养了2名硕士研究生，其中2名在读；获得河北省数学学会青年学术奖二等奖。后续工作：（1）继续研究参数激励摆系统的非线性动力学行为，开展动力学实验，可视化呈现双稳态参数激励摆系统的周期和混沌运动；（2）探讨双稳态参数激励摆系统能量收集和准零刚度隔振方面的应用。本研究旨在通过发展和建立双稳态参数激励摆模型，研究其复杂的共振响应机理、分岔和混沌现象，丰富几何非线性动力学研究内容，推动几何非线性动力学理论及工程应用研究，探讨参数激励摆系统的旋转周期运动在潮汐能吸收方面的应用，既有理论研究价值又有重大的现实意义。