两类偏微分方程反问题的正则化理论及算法研究

We consider two kinds of inverse problems for partial differential equation: Cauchy problem for elliptic type equation and final value problem of ultra-parabolic type equation, especially including the Cauchy problem for linear elliptic operator equation, Cauchy problem for nonlinear elliptic operator equation, final value problem of linear ultra-parabolic type equation, final value problem of nonlinear ultra-parabolic type equation. This project studies the conditional stability, regularization theory and numerical algorithm of four problems. . For four problems, the project establishes the condition stability estimates. For the Cauchy problem of linear elliptic operator equation and final value problem of linear ultra-parabolic type equation, we construct two-parameter Tikhonov、two-parameter Lavrentiev and two-parameter quasi-reversibility regularization methods; For the nonlinear elliptic and ultra-parabolic type problems, we construct two-parameter Tikhonov type、two-parameter Lavrentiev type and two-parameter quasi-reversibility type methods；Then we use two-parameter Morozov discrepancy principle to select the regularization parameters and derive the a-posteriori convergence estimate of order optimal for each method. In the algorithm study, we use finite difference or finite element method to compute the regularization solutions of two linear problems; Combining with the finite difference (or finite element) and iteration method to construct a unified algorithm for regularization solutions of two nonlinear problems, and verify some theoretical results after doing the regularization treatment.

考虑两类偏微分方程反问题：椭圆型方程柯西问题与超抛物型方程终值问题，具体包括线性椭圆算子方程柯西问题，非线性椭圆算子方程柯西问题，线性超抛物型方程终值问题，非线性超抛物型方程终值问题。项目研究四个具体问题的条件稳定性，正则化理论及数值算法。. 对四个问题，项目建立条件稳定性估计。对线性椭圆算子方程柯西问题与线性超抛物型方程终值问题，构造双参数Tikhonov、双参数Lavrentiev及双参数拟逆正则化方法；对非线性椭圆与超抛物型问题，构造双参数Tikhonov型、双参数Lavrentiev型及双参数拟逆型方法；然后运用双参数Morozov不一致原理选取正则化参数并导出每种方法阶数最优的后验收敛性估计。算法研究中，利用有限差分或有限元方法计算两个线性问题的正则化解；结合有限差分(或有限元)与迭代方法构造计算两个非线性问题正则化解的统一算法并验证正则化处理后的一些理论结果。

项目研究了线性椭圆算子方程与修正亥姆霍兹方程柯西问题、非线性椭圆算子方程柯西问题、超抛物型方程终值问题的条件稳定性、正则化理论及数值算法。. 对线性椭圆算子方程柯西问题，首先建立了其条件稳定性估计；接着基于条件稳定性结果，构造出了广义分数Tikhonov型正则化方法（多参数方法）克服其不适定性，并在正则化参数的先验和后验选取规则下导出了正则化方法阶数最优的收敛性结果；最后利用有限差分方法计算正则化解并进行数值模拟与相关理论验证。. 对修正亥姆霍兹方程柯西问题，在精确解的先验假设下导出了问题的条件稳定性估计；接着在条件稳定性结果的启发下，构造出了克服该不适定问题的修正Lavrentiev和广义分数Tikhonov正则化方法（多参数方法），并导出了两种方法阶数最优的先验和后验收敛性结果；最后通过数值算例验证所提方法的正则化效果并作了相应理论验证。. 对非线性椭圆算子方程柯西问题，分别构造出了求解问题的广义Tikhonov型、广义Lavrentiev型及广义分数Tikhonov正则化方法（多参数方法），并证明了正则化解满足的非线性积分方程解的存在唯一性和稳定性，同时导出了各方法阶数最优的收敛性结果；在算法研究中，基于问题的非线性与椭圆方程的性质，构造出一种统一的迭代算法计算正则化解并验证了正则化处理后的一些理论结果。. 对超抛物型方程终值问题，研究了其两个推广问题—含一维分数阶拉普拉斯算子的抛物方程终值问题和Riesz-Feller空间分数阶抛物方程终值问题。首先基于文献已有的条件稳定性结果，构造出了求解两个不适定问题的广义Tikhonov正则化方法（多参数方法）；接着通过Morozov不一致原理的两种推广形式后验选取正则化参数，给出并证明了正则化方法对数和双对数型的收敛性结果；最后采用有限差分方法、离散傅里叶变换、离散逆傅里叶变换技术作了相关数值模拟与理论验证。