微分求积法中的若干创新方法研究

微分求积法是近几年涌现出来的一种微分方程数值计算方法。该方法因为逼近精度高，编程简单，处理边界条件很容易，故被认为是一种很有发展潜力的方法，值得大力发展。本项目拟把一系列创新技术与微分求积法结合起来，以推动微分求积法的发展。主要研究内容为（１）把微分求积法与区域分裂法相结合，以解决不光滑问题与奇异摄动问题；（２）把微分求积法与Sinc方法结合，提出带边界条件的Sinc配点法；（３）把微分求积法与径向基函数结合，实现无网格化方法；（４）在微分求积法中，直接逼近最高阶导数，解出各节点的最高阶导数后，再通过数值积分求出低阶导数值和函数值，从而以数值积分代替数值微分，以提高稳定性。这是一种全新的尝试。以上的创新方法的研究为更好地解决椭圆边值问题、抛物型初边值问题、N-S方程、奇异摄动问题以及自由边界问题等打下了很好的基础。