基于力学分析的多元样条理论及几何造型方法研究

本项目将多元样条理论和几何造型方法的研究与力学分析联系起来，通过多元网格样条和薄板样条的相互转化，构建样条函数的统一性理论，建立基于力学载荷信息和复合能量约束的几何造型新方法。项目拟综合运用弹塑性力学、板壳理论、变分原理、微分方程、傅里叶分析等相关理论和方法，研究任意剖分上多元网格样条的力学模型，薄板样条在给定网格上的分片表示及能量泛函，以建立两类样条之间相互转化的理论；引进弯曲、扭转、挤压、拉拔等力学载荷信息，研究相应的泛函插值方法和几何造型技术；样条曲面在承受外载荷后的应力应变分析及曲面表示；最后基于"约束优化"理论，结合几何与物理变形方法，借鉴"光滑余因子协调"理论，建立包含多种力学信息的复合能量泛函一般模型，以期提出包含更多自由度的几何造型新方法。本项目的研究成果将丰富和完善多元样条与径向基函数理论，为解决复杂曲面和实体造型问题提供新的思路与方法。

随着计算机技术的进步，工程上需要适合计算机处理的曲线曲面数学表示方法，从而促进了CAD/CAM技术的产生与发展。当今CAD已是设计类行业不可或缺的技术基础，特别是3D打印的兴起，为CAD的发展提供了更为广阔的舞台。. 计算几何是计算机辅助设计(CAD)/计算机辅助制造 (CAM)/计算机辅助工程(CAE)中几何造型的重要数学基础，在研究和处理 CAD/CAM/CAE 中涉及的各类几何问题包括设计、制造、传输、显示和重构等方面有着重要应用。样条函数是计算几何中表示和逼近几何对象的基本工具。样条函数的多元推广一般有两种：一种是把具有一定光滑度的分片多项式空间作为多元样条空间，定义在一定的网格（或剖分）上，但此时未能保留弯曲能最小的物理性质；另一种是从一元三次样条的物理意义出发，令弯曲能取最小并满足插值条件，得到薄板样条，但此时样条是无网格的。本项目将多元样条理论和几何造型方法的研究与力学分析联系起来，运用弹塑性力学、板壳理论、变分原理、微分方程、傅里叶分析等相关理论和方法，研究多元网格样条的力学模型及薄板样条在给定网格上的分片形式，建立样条函数的统一性理论。引进弯曲、扭转、挤压、拉拔等力学载荷信息，分析样条曲面在承受外载荷后的应力应变及曲面表示，研究相应的泛函插值方法。综合运用约束优化理论、几何与物理变形方法、光滑余因子协调法等，研发基于上述理论和方法的几何造型新技术。. 对几类剖分上多元样条的力学模型进行了深入的研究，将常量外载荷推广到分段变载荷，提高了逼近的自由度；构造性地研究了圆扇形剖分上多元样条的力学模型，建立与径向基函数的关联；研究了多元样条曲面弯曲能量与基于能量约束的几何造型方法；开展了多元自适应回归样条及其在数据分析中的应用研究；进一步开展了非局部样条理论的研究，并开展了分数阶微分方程在工程中的应用研究。发表论文35篇，出版专著3部，承办国际学术会议1次，培养硕士研究11名，培养河北省突出贡献专家1人，河北省首届青年拔尖人才1人，河北省“三三三人才”第三层次人选2人，河北省优秀青年专家出国培训1人。. 本项目的研究成果具有独创性，一些思想是本团队首先提出的，丰富了多元样条与径向基函数理论，为复杂曲面和实体造型问题提供了新的思路与方法，在数学、力学、计算几何的交叉领域开创了新的学科生长点，具有重要的科学意义。