李理论和组合方法在芬斯勒几何研究中的应用

Homogeneous Finsler geometry has become an active research field in recent years. Using the idea of algebraization and the methods from Lie theory, we can avoid much complicated calculation and discover the intrinsic nature of Finsler geometry. On the other hand, we also believe that the idea of discretization and the combinatorial methods can achieve similar goals in Finsler geometry, which open the gate to piecewise flat Finsler geometry. In this project, we will use above thoughts to guide our research on curvature and submanifold in Finsler geometry. To be precise, we will study the following subjects. Firstly, we will study the classification of homogeneous Finsler spaces with positive flag curvature. Secondly, we will study non-negatively curved homogeneous Finsler spaces satisfying the (FP) condition. Thirdly, we will use Lie methods to study the critical points of geometric functionals, which represent special metrics or submanifolds. Lastly, we will build the theoretical framework for studying piecewise flat Finsler manifolds, and explore their curvature properties. My relatively strong scientific ability on studying Finsler geometry and homogeneous geometry was marked by my recent publication in Journal of Differential Geometry. I am capable of meeting the goal of this project, publishing at least 4 SCI papers per year in average during the period of this project, among which some are expected to appear on top mathematical journals.

齐性芬斯勒几何是近年来十分活跃的一个领域。运用李理论方法和代数化思想可避免复杂计算，以便更容易发现芬斯勒几何的本质内涵。离散化思想和组合数学方法在芬斯勒几何研究中可以达到异曲同工的效果，同时开启了分片平坦芬斯勒几何这一全新的研究领域。在上述数学思想和方法的指导下，本项目研究芬斯勒几何中的曲率和子流形。具体包括：（一）研究具有正旗曲率的齐性芬斯勒空间分类的理论；（二）研究满足（FP）条件的非负旗曲率齐性空间的构造与性质；（三）从李对称的角度研究各种几何泛函的临界点，以及相应的特殊齐性度量及子流形；（四）构建分片平坦芬斯勒几何的理论框架并研究它的各种曲率。申请人在本领域研究中具备较强的实力，曾在《J. Diff. Geom.》上发表文章，预计未来4年，平均每年发表至少4篇SCI论文，力争若干论文发表在国际一流期刊。

芬斯勒几何是陈省身先生生前大力倡导的重要几何学科，在电子、材料、生物统计等邻域广泛应用。李理论提供了研究芬斯勒几何的重要方法，将问题代数化，避免了繁杂计算并提供认识几何内涵的新视角。首先，本项目运用李方法研究了一般和齐性芬斯勒几何的曲率和测地线，成果包括：（1）推进正曲率齐性芬斯勒空间分类研究，提出(FP)条件，发现研究正曲率课题的新思路；（2）给出常曲率芬斯勒球和一般紧致齐性芬斯勒空间上闭测地线轨道数估计，给出齐性常曲率球的刻画；（3）给出常曲率Randers球上齐性等参超曲面分类，发现相似场导航前后等参超曲面的局部对应；（4）证明光滑(α1,α2)-度量的Landsberg猜测；（5）构造齐性Randers-爱因斯坦度量新例子；等。其次，本项目运用李方法研究了黎曼几何与伪黎曼几何中若干课题，成果包括：（1）构造齐性黎曼-爱因斯坦度量新例子；（2）发现大量封闭黎曼流形的齐性Willmore子流形新例子；（3）从左不变伪黎曼度量的角度探讨了非Killing共形场对流形整体几何的影响；（4）给出特定4维齐性黎曼和伪黎曼流形上左不变调和向量场分类。最后，本项目还研究了李理论中下述课题：（1）给出有界向量场的代数性质和有界向量的刻画；（2）运用泛函分析和表示论方法研究了一类特殊的类对角矩阵的特征值和特征向量、李代数和多参数算子族的特征多项式等。本项目研究不仅完成了研究计划，还为齐性正曲率、常曲率球、闭测地线、等参理论、Landsberg猜测等芬斯勒几何课题发掘了新思路，积累了经验和方法，确立了团队下一步研究目标。本项目共发表SCI论文24篇；组织两次李群与几何学术会议；应邀在意大利和日本的芬斯勒几何国际会议上作大会报告，提升了国内外学术影响，拓展了学术联系和合作圈。最后，我们在项目期间培养博士生1人、硕士生6人，加强了团队的研究实力。