与子空间相关的流形上的数值微分几何

This project will concentrate on computation and optimization problems on subspace related manifolds, using tools and theories from numerical linear algebra and differential geometry. We will consider manifolds consisting of affine linear subspaces, flag manifolds and quotient spaces of indefinite orthogonal groups. In numerical differential geometry, how to compute geometric quantities of a manifold is an essential problem. These geometric quantities include tangent spaces, geodesics, gradients and so on. On the one hand, these manifolds play a extremely important role in the real life application since they are related to subspaces. On the other hand, these subspace related manifolds have very special geometric structures. We will utilize these special geometric structures to simplify our numerical computation of geometric quantities necessary for optimization algorithms on these manifolds. Moreover, this project will apply these optimization algorithms to solve real life problems.

本项目主要利用数值线性代数和微分几何的基础理论研究与子空间相关的流形上的计算和优化问题。这些流形包括了由仿射线性子空间构成的流形，flag流形以及不定形正交群的商空间。在数值微分几何中，如何计算一个流形的几何量是一个非常重要的问题。这些几何量包括了切空间，测地线，梯度函数等。一方面，实际问题中涉及到的流形通常都与子空间有关，因此这些流形在实际应用中扮演着非常重要的角色。另一方面，这些流形具有非常特殊的几何结构，本项目将充分利用这些特殊的结构，简化关于这些流形几何量的计算，从而得到这些流形上的优化算法。更进一步，本项目将把得到的算法应用于实际问题的解决中去。

本项目主要利用数值线性代数和微分几何的基础理论研究与子空间相关的流形上的计算和优化问题。这些流形包括了由仿射线性子空间构成的流形，flag流形以及正定矩阵锥。在数值微分几何中，如何计算一个流形的几何量是一个非常重要的问题。这些几何量包括了切空间，测地线，梯度函数等。一方面，实际问题中涉及到的流形通常都与子空间有关，因此这些流形在实际应用中扮演着非常重要的角色。另一方面，这些流形具有非常特殊的几何结构，本项目充分利用这些特殊的结构，简化关于这些流形几何量的计算，从而得到仿射Grassmann流形，flag流形上的优化算法以及不同维数正定矩阵距离的快速计算方法。