Yangians和一些无穷维李（超）代数的结构和表示理论

In the past fifty years, the research of Lie theory, especially of Lie algebras has a lot influence on the development of modern mathematics, particularly the field of algebra. Besides algebra, it also enriches the area of soliton theory, integrable systems theory, singularity theory and combinatorics. It also has many profound applications in various areas of physics, such as string theory, conformal field theory, quantum physics, and so on. The presented project aims at structure and representation theory of Yangians and some infinite-dimensional Lie (super)algebras. In more detail, we want to define “non-reduced” root-graded Lie superalgebras and explore the structure and representation theory of this kind of Lie superalgebras, for example we can use the fermions and bosons or the Wakimoto's free fields realization to construct representations over root graded Lie (super)algebras; we will classify modules over simple Lie algebras of complex number with some special properties, such as the Whittaker modules, the modules whose restriction to U(h) is free of rank 1; we will try to construct some finite-dimensional simple modular Lie superalgebras and study the irreducible representations; we will classify the finite-dimensional irreducible representations over the q-Schur superalgebras of type Q and affine Yangians of gl1; moreover, we will also try to define modular Yangian (Yangian over an algebraically closed field of positive characteristic) and classify the finite-dimensional irreducible representations over the modular Yangian.

李理论特别是李代数的研究在过去四五十年里极大地推动了现代数学，尤其是代数学的发展。它在数学领域里，除了代数学以外，还丰富了孤立子、可积系统、奇性理论和组合数学等方向的研究。它在物理学中，如：弦论、共形场论、量子物理等分支中都有着重要的应用。本项目主要研究Yangians和一些无穷维李(超)代数的结构和表示理论：通过泊松场和费米场以及Wakimoto自由场等办法构造一些根系分次李(超)代数的表示，给出“非约化根系”分次李超代数的概念并进行分类，同时构造相应的表示；构造并分类有限维复单李代数的一些特殊类型的单模；构造Virasoro代数及相关李代数的不可约表示，研究仿射Kac-Moody代数的非权模；构造新的有限维单模李超代数，并对模李超代数的表示进行研究；分类Q型q-舒尔超代数和gl1型仿射Yangian的有限维不可约模；定义模Yangian，并研究模Yangian的有限维不可约表示。

李理论特别是李代数的研究在过去四五十年里极大地推动了现代数学，尤其是代数学的发展。它在数学领域里，除了代数学以外，还丰富了孤立子、可积系统、奇性理论和组合数学等方向的研究。它在物理学中，如：弦论、共形场论、量子物理等分支中都有着重要的应用。本项目主要侧重于无限维李代数的结构和表示理论的研究，特别的构造并分类了一些重要李代数或者量子群的表示。主要研究结果包括：完全分类了Block型李代数B(q)的拟有限模；构造并分类了W(2,2)李代数上的在其相应零部分的泛包络代数上秩1自由的表示，进而得到了W(2,2)上一类新的不可约表示；首次研究了量子群上的限制在“Cartan”部分秩1自由的表示，并且得到了量子群上的大量不可约表示等。这些研究成果有利于无穷维李代数和量子群以及Yangian相应研究工作的深入开展，有很重要的理论价值。经过三年的努力，本项目发表含有项目标注论文10篇，其中SCI收录9篇，主要代表性文章发表在著名代数期刊Journal of Algebra（3篇）和Journal of Pure and Applied Algebra（1篇）上，其他一些文章发表在Asian Journal of Mathematics、Journal of Geometry and Physics以及International Journal of Mathematics等综合期刊上。联合培养毕业博士生2人（其中1人为巴基斯坦留学生），独立指导毕业硕士2人，出站博士后工作人员1人。