半线性薛定谔方程组的多解研究

本项目拟研究n维欧氏空间中半线性薛定谔(Schr?dinger)方程组的完全非平凡解的存在性与多解性。此类方程组出现在非线性光学、Bose-Einstein 凝聚以及量子力学中的Hartree-Fock理论等领域。近十多年来，此类方程组在国际上不但得到许多理论物理学家的关注，也引起了许多数学家的研究兴趣，成为非线性分析领域的热点问题之一。对这些方程组的研究不但解释了某些物理现象，而且导致了研究方法和技巧的进一步深入发展和一系列具有挑战性的新问题的产生。本项目拟综合运用极小极大方法、Morse理论以及分支(bifurcation)方法等非线性分析的工具，对这些问题进行深入研究，希望揭示方程组所带参数与方程组存在多个完全非平凡解的关系，进而发展出一些新的关于非线性问题多重解存在性的思想方法，为相关问题的研究提供思路。

本项目研究n维欧氏空间中半线性薛定谔(Schrödinger)方程组的完全非平凡解的存在性与多解性。此类方程组出现在非线性光学、Bose-Einstein 凝聚以及量子力学中的Hartree-Fock理论等领域。综合运用极小极大方法、Nehari流形、Morse理论以及变分约化方法等非线性分析的工具, 我们对这些问题进行深入研究，揭示了方程组所带参数与方程组存在多个完全非平凡解的关系。主要内容包括：(1)研究在相互排斥和相互吸引的情形，当位势函数不是常数时，参数和薛定谔方程组最小能量可达问题的联系。(2)随着参数趋于0，我们可以得到薛定谔方程组越来越多的变号的非径向对称的完全非平凡解。(3)研究在相互吸引的情形，当位势不是常数，满足适当的条件，不要求是对称函数，方程有无穷多个完全非平凡解。(4)对全空间 上具有各向异性系数函数的临界退缩椭圆方程进行了详细的研究。(5)研究了全空间上与Caffarelli-Kohn-Nirenberg不等式相关的半线性椭圆型方程的多泡型正解（multi-bubble positive solution）的存在性。利用单个方程的研究方法，促进薛定谔方程组新的完全非平凡解存在性研究。研究结果发展出一些新的关于非线性问题多重解存在性的思想方法，为相关问题的研究提供思路。