代数数论及其相关领域的历史研究

Algebraic number theory is one of the important parts of mathematics. Focusing on its characteristics from 19th century through early 20th century, this project aims at these aspects: fundamental concepts, relevant theories, cross applications, and key mathematicians. We will excavate and select valuable historical materials of algebraic number theory and its relevant fields, especially the original literatures of mathematicians; conduct research on the evolution of the fundamental concepts —— ideal, ideal class group, algebraic number field, unit group, valuation, p-adic number and etc. —— using the conceptual analysis method of school of the thought history; discuss and summarize its methods, approaches and outlines of the theory, such as ideal theory, valuation theory, class field theory, model form theory, local-global principle and p-adic analysis based on its fundamental concepts; investigate the interactions and the applications among these subjects: algebraic number theory, algebraic, geometry as well as analysis; write biographies of the important mathematicians in algebraic number theory and its relevant fields, among those are E. E. Kummer, K. Hensel, H. Hasse and W. Krull. All these researches on algebraic number theory and its relevant fields from 19th century through early 20th century will deepen our knowledge of mathematical foundations while strengthening the connections of interdisciplinary fields. Meanwhile, it will provide beneficial enlightenment towards the understanding and comprehension of mathematics in general as well.

代数数论是数学的重要组成部分之一。本项目针对从19世纪到20世纪早期的代数数论的特点，从其基本概念与理论、交叉应用和关键人物等方面进行研究。深入发掘与筛选有价值的代数数论及其相关领域的史料，特别是数学家的原始文献；用思想史学派的概念分析法研究理想、理想类群、代数数域、单位群、赋值、p进数等基本概念的起源与发展；探讨与总结在这些基本概念基础之上形成的理想论、赋值论、类域论、模形式理论、局部-整体原则、p进分析等的研究方法、手段和路线；以代数数论与代数、几何、分析等之间的交叉应用为典型代表，对其学科之间的交叉应用进行研究；对代数数论及其相关领域有杰出贡献的数学家树碑立传，如库默尔、亨泽尔、哈塞和克鲁尔等。对从19世纪到20世纪早期的代数数论及其相关领域的历史研究，可以深化知识之间的联系，加强学科之间的交叉，为理解与把握数学提供有益的启迪。

代数数论是现代数学的重要分支之一。本项目重点研究了从19世纪到20世纪早期代数数论及其相关领域的历史，共计发表论文17篇，出版学术专著1部。主要研究成果为：（1）研究了局部—整体原则的思想脉络。它起源于库默尔的局部化思想，亨泽尔的p进数理论是局部—整体原则的必要前提，哈塞借鉴戴德金的思想，并运用亨泽尔准则，首次得到了二次型的局部—整体原则。（2）厘清了赋值论的思想演变。它起源于屈尔沙克，其后奥斯特洛夫斯基、里奇利克、哈塞和施密特等人解决了屈尔沙克提出的问题，进一步发展了赋值论。克鲁尔提出一般赋值定义，建立了一般赋值论。（3）探究了克罗内克和戴德金的代数几何算术化思想。克罗内克通过定义代数量、代数除子，建立除子理论，引入模系统，使代数几何开辟了以除子为基础的算术化方向。戴德金和韦伯引入互补类和典范类，并用它们证明了黎曼—罗赫定理，使代数几何开辟了以理想为基础的算术化方向。（4）考察了富特温勒的类域论思想。他研究了类域论中的一些问题，比如希尔伯特关于阿贝尔扩张性质的猜想，为高木贞治建立类域论奠定了基础。（5）分析了佐洛塔廖夫的代数数论思想。他通过指数赋值的方法，将可除性理论从分圆域推广到一般代数数域。（6）探讨了泰特的类域论工作。他引入泰特上同调群、泰特定理和泰特猜想等，推动了代数数论和代数几何等学科的发展。（7）研究了戴德金、亨泽尔、卡普兰斯基、克鲁尔等数学家的人生经历和数学思想。这对于更加深入地理解代数数论和数学家精神有所裨益。