基于后验预测分布的Bayes推断及相关问题研究

This project aims to investigate some important statistical hypothesis testing problems based on Bayesian paradigm. The proposal is made up of three parts. First, we will construct Bayesian analogue of the likelihood ratio statistic in frequentist statistics, unveil the corresponding Wilks phenomenon, and develop the applications in statistical inference. Second, we will propose new Bayesian goodness-of-fit test approaches. The key point is to improve the power of the test significantly. Third, we will study the reconciliation between the Bayesian inference and the frequentist inference. The emphasis is put on the agreement between the Bayesian evidence and the frequentist evidence. The problems we considered link the frequentist statistics and Bayesian statistics. The proposal involves fundamental problems in statistics as well as practical problems in application. Therefore, this project is not only of theoretical importance, but also of promising value in application.

本项目旨在基于Bayes统计的思想和方法来研究一些重要的假设检验问题。研究内容分为三个部分：一是构造Bayes框架下的似然比统计量，提示相应的Wilks现象以及优良性质，并研究其在统计推断中的应用；二是基于Bayes来研究拟合优度检验问题，构造新的检验方法，重点使得检验功效能够得到显著提高；三是研究Bayes推断与频率推断的和谐性问题，重点研究Bayes证据和频率证据的一致性。项目研究问题横跨频率统计和Bayes统计两大学派，研究内容既有统计学中基础性的理论问题，也有统计学相关应用领域中具有重要应用价值的问题。因此，本项目的研究不仅具有重要的理论意义和学术价值，而且也有广阔的应用前景。

Bayes学派作为统计学的一大主流学派，其思想和方法已受到人们的广泛关注和重视，其理论研究成果具有广阔的应用前景。本项目主要围绕基于后验预测分布Bayes推断、经验Bayes推断、客观Bayes推断及其应用等方面开展了一系列的研究工作。研究内容和结果主要包括：（1）利用后验预测分布和后验预测p-值的概念，提出了一系列新的拟合优度检验方法；（2）在正态-逆Wishart 先验下，导出了参数的Bayes 估计，构造了参数的经验Bayes 估计，并定义了新的优良性准则，在此准则下证明了其相对于最小二乘估计的优良性；（3）对于具有一般协方差结构的增长曲线性模型，导出了参数的reference先验，并给出了相关应用；（4）研究了协方差阵以及精度矩阵的Cholesky 分解的估计问题，给出了最大似然估计和无偏估计的具体形式，并利用Harr不变测度，导出了某个变换群下的最优不变估计；（5）研究了线性模型以及混合系数线性模型中的多重共线性问题，提出了一类新的有偏估计，给出了新估计在均方误差意义下优于已有估计的条件；（6）在平衡损失下，研究了带有不等式约束的线性模型中参数估计的容许性问题，给出了线性估计是容许估计的充要条件。. 本项目的研究成果丰富和发展了Bayes推断及相关领域的研究成果。在项目的资助下，项目组在国内外重要学术期刊发表研究论文18篇，其中SCI期刊9篇。项目实施过程中，项目组成员积极参加学术交流和合作，同时注重研究生的培养，共毕业研究生10名，其中1人考取上海财经大学数理统计方向博士研究生。