变分、拓扑方法以及对几类微分方程问题的应用

运用变分法(含Morse理论等)、拓扑方法等工具来研究动力系统的周期解、同宿和异宿解及偏微分方程（含薛定谔方程）相关问题的可解性、多解以及解的形状问题；用变分法结合拓扑法研究有界域上椭圆偏微分方程边值问题的可解性和多解问题，以及一些文献上用拓扑方法处理的问题（如带阻尼的周期解问题等）。重点研究研究几类动力系统周期解问题、各种形状的的同宿解、异宿解和周期解的存在性和多解及偏微分方程相关问题的新情况；研究零点和无穷远点均发生共振时的微分方程或次线性共振问题的可解性和多解问题。第一类问题基本上属于无界域上的问题，第二类是有界域上的问题。这些问题属于我们多年的研究领域，处理的方法上有深刻的联系。这些研究需要综合运用泛函分析、偏微分方程、拓扑学等领域的知识，是核心数学的研究领域之一。 变分、拓扑方法和Morse理论已被广泛应用于来自于几何、物理等领域的问题，但仍许多新问题和新情况需要研究。

泛函分析方法（包括变分法、拓扑方法等）是研究非线性微分方程的重要方法。许多来源于实际问题的微分方程由于涉及深刻的背景，需要深刻的分析、拓扑方法来进行理论处理，例如量子力学中的薛定谔方程等。近几十年来，微分方程中的泛函分析方法（特别是变分方法）得到了蓬勃发展，国内外大量一流的数学家参与其中。.本项目主要利用变分方法等研究几类有重要背景的微分方程，例如带陀螺项的微分方程、薛定谔方程（量子力学中的基本方程）以及薛定谔-泊松系统、椭圆边值问题等。带陀螺项的微分方程，许多力学工作者研究过，但很多从事非线性分析的人往往对其力学背景不熟悉，我们在早年工作的基础上建立了更多的解及多解的存在性，包括multi-bump解。对薛定谔方程或薛定谔-泊松系统等，我们综合利用Nehari流形、集中紧性原理、区域逼近、PS点列刻画、山路引理、指标理论等具体的变分法中的工具，建立了它们解及多解的存在性。对有界域上的椭圆共振问题、Sturm—Liouville问题等我们也得到它们解及多解的存在性。