关于变指数偏微分方程的一些问题研究

This research project focuses on the study of some mathematical theories of the partial differential equation with variable exponent driven by p(x)-Laplacian. This mathematical model may be used to describe various physical phenomena such as flows of electrorheological fluids and processes of filtration through a porous medium and so on. From both the perspective of physical and mathematical, the research of this problem is very significant. In this project, by using the theories of nonsmooth critical point and semigroups of operators, we consider the solution and multiple solutions of the stationary p(x)-Laplacian differential inclusions and the global attractors of the non-stationary p(x)-Laplacian equations. Besides, we also investigate the global attractors of the non-stationary p(x)-Laplacian differential inclusions via the theory of multivalued semigroups.

本项目研究一类由 p(x)-Laplacian 诱导的变指数偏微分方程的一些数学问题。该数学模型经常用来描述电流变流体(Electrorheological fluid)的流动和通过多孔介质的过滤过程等其他物理现象。无论从物理还是数学上讲，该问题的研究都有富有重要的意义。本项目借助于非光滑临界点、算子半群等理论，研究稳态的 p(x)-Laplacian 微分包含问题解与多解的存在性和非稳态的 p(x)-Laplacian 方程全局吸引子的存在性。除此之外，借助于集值半群理论，我们还将研究非稳态的 p(x)-Laplacian 微分包含问题全局吸引子的存在性。

本项目主要研究变指数偏微分方程及其相关模型中的一些数学问题的研究。变指数偏微分方程模型广泛应用与描述电流变流体(Electrorheological fluid)的流动、通过多孔介质的过滤以及在有干扰性条件下所形成的图像恢复等等。因此，变指数偏微分方程及其相关模型的研究是人们一直关心的课题。. 本项目致力于研究由p(x)-Laplacian诱导的变指数偏微分方程在稳态和非稳态两种情形下解与多解或全局吸引子的存在性。对于稳态情形，我们考虑了无界区域或者非线性项满足临界增长时变分问题解的存在性。对于非稳态情形，应用算子半群或者集值半群理论，我们首先证明抛物型p(x)-Laplacian方程整体弱解、重整化解、熵解的存在性，然后通过建立半群的紧性或渐近紧性得到方程在无界区域(全空间)全局吸引子的存在性。对于与描述电流变流体的变指数方程相关其他流体发展方程，我们主要研究这些方程解的正则性问题。电流变流体是一类在电磁场状态下机械性能会发生戏剧性变化的非牛顿流。因此，对于变指数方程研究研究具有一定的复杂性。在本项目中，我们借助于对Navier-Stokes方程、MHD方程、Quasi-geostrophic方程等其他相关流体方程研究的视角和方法。我们通过对简化的椭圆和抛物型p(x)-Laplacian方程的研究，逐步深入认识和发掘新的研究方法与技巧来开展本项目的研究。因此，这些流体方程的研究无疑对本项目的研究进展起到很好的铺垫和推进作用。. 通过对本项目的研究，我们得到了一系列研究成果，包括椭圆型p(x)-Laplacian方程的解与多解的存在性、Kirchhoff型p(x)-Laplacian方程的最小能量变号解的存在性、各项异性抛物型p(x)-Laplacian方程整体弱解和全局吸引子的存在性、带有低正则初值和非线性项条件的抛物型p(x)-Laplacian方程重整化解和熵解以及全局吸引子的存在性等。而对于变指数方程相关其他流体发展方程的研究，我们也得到了一系列关于解的正则性研究成果。上面所论述的成果有的已经发表，有的正在整理或审稿过程中。