两类浅水波方程整体弱解的存在性和唯一性问题

We will study the existence and uniqueness of global weak solutions to two classes shallow water wave equations in this project. First, we will consider the existence and uniqueness of the weak solutions to the two-component Camassa-Holm system if the second component initial data equals to zero somewhere. Using vanishing viscosity method, we will present the existence of the global weak solutions to the system. Through the characteristics, the Cauchy problem of the two-component Camassa-Holm system is transformed into an ordinary differential system. We will obtain the uniqueness of the weak solutions to the Camassa-Holm due to the existence and uniqueness of the solutions theorem in ODE. Second, we will study the existence and uniqueness of the weak solutions to the generalized Camassa-Holm equations with the initial data changing sign. We will prove the existence of the weak solutions by modifying initial data or vanishing viscosity method and we will show the uniqueness of the weak solutions thanks to entropy or characteristics method.

本项目预研究两类浅水波方程整体弱解的存在性和唯一性. 首先，我们预研究双分支Camassa-Holm系统初值存在真空情况下整体弱解的存在性和唯一性，拟采用粘性消失法解决弱解存在性问题，通过特征线进行坐标变换，把偏微分方程转化为常微分方程，利用常微分方程解的存在唯一性定理从而证明双分支Camassa-Holm系统弱解的唯一性；其次，我们预研究广义的Camassa-Holm方程当初值变号时整体弱解的存在性和唯一性，拟采用磨光初值或者粘性消失法证明弱解存在性问题，熵方法或者特征线方法解决弱解唯一性问题。

本项目主要研究浅水波方程，比较早的浅水波模型是KdV方程，KdV方程属于完全可积系统，具有孤立子光滑解，但是KdV方程不能描述波的破裂现象，然而波的破裂又是水波的一个重要现象。1993年，两位美国科学家Camassa和Holm 推导出了另一类浅水波方程，即Camassa-Holm（CH）方程。CH方程是第一个既能描述孤立子又能描述波的破裂现象的水波方程，同时它也是完全可积的，而且还可以直接通过对Euler方程的哈密顿函数作渐近展开得到。. 本项目我们研究了高阶双分支Camassa-Holm系统的弱解, 修正双分支Camassa-Holm系统在一维空间中的吸引子，以及Camassa-Holm方程在高维空间中的吸引子问题，主要研究了高阶双分支Camassa-Holm系统弱解的存在性和唯一性，完成论文两篇，已投稿，研究了带粘性项修正的双分支Camassa-Holm系统的全局吸引子的存在性，以及高维空间中带粘性项Camassa-Holm方程的全局吸引子的存在性，完成论文两篇，一篇已投稿，另一篇初稿计算推理部分已完成, 正在修改介绍部分。