Birkhoff插值问题有理函数解的计算机数学方法

As one of the most common methods in approximation theory, rational function solutions of an interpolation problem is one of the core contents of numerical analysis. It has been widely used in many fields such as CAGD, approximation theory, numerical solutions of differential equations, lunar exploration, military technology, etc. Rational function solutions have more accuracy than polynomial solutions with the same computational complexity. Especially in radar detection and identify projects, rational function solutions possess better effect with less interpolation nodes when considering impedance matrix as interpolation target. This project will study the rational solutions to the most general interpolation problem - Birkhoff interpolation problem, using computer mathematics theory and relational methods. Our plan is as follows..①The univariate case. Seek a method of getting rational function solutions. ② The multivariate case. When the interpolation condition has a special geometric structure, seek a recursive type or simpler algorithm to get rational function solutions. For general Birkhoff interpolation problems, establish a universal algorithm. ③ Establish the method of getting rational solutions to vector type Birkhoff interpolation problems. .The study in this project is conductive to the theoretical improvement, and it has a positive impact on the applications of interpolation in science and technology at the same time.

求插值问题的有理函数解是数值分析的核心内容之一，也是最常用的逼近方法之一。它在CAGD，逼近论，微分方程数值解，探月工程、军工科技中得到广泛应用。与多项式解相比，在相同的计算复杂度下有理函数解可以实现更精确的逼近，特别是在雷达探测和识别工程中，以抗阻矩阵为插值对象，有理函数解效果更好，且所需的插值节点较少。本项目将利用计算机数学的理论和方法研究最一般的插值问题—Birkohff插值问题的有理函数解，即①一元情形，建立求其有理函数解的方法；②多元情形，当插值条件具有特殊几何结构时，建立有理函数解的递推型或较为简单的算法，对一般性的Birkhoff插值问题，建立通用型算法；③建立向量型Birkhoff插值问题的有理函数解的求解方法。开展本项目，既有利于完善插值理论，又可进一步促进插值在科技工程中的应用。

有理插值是最常用的逼近方法之一。Birkhoff型有理插值是最一般的代数插值问题。因其微商条件不连续，故难以线性化。本项目针对一元（0-2）型Birkhoff有理插值问题，给出了构造性算法，从而将（0-2）型Birkhoff有理插值问题线性化。针对插值节点及插值条件具有特殊几何结构的二元Birkhoff型有理插值问题，例如x-y连通，将该二元问题视为有理函数域K(y)上的一元有理插值问题，同样可以将其线性化。针对一般性的Birkhoff型有理插值问题，通过引入参数，将其转化为含参数的Hermite型有理插值系统。注意到，该问题有理函数解的分子、分母的系数均可以表示成以这些参数为未定元的有理函数，对参数进行赋值，可获得这些有理函数在指定点的函数值。因此可通插值的方法，将这些有理函数恢复出来。故本项目对多元有理函数恢复问题做了较深入研究，并给出了多元有理插值的Bulirsch-Stoer算法，该算法适用于有理函数恢复问题。该有理函数恢复方法也可能对研究正维多项式系统解的坐标分量的有理表示的科研人员有所帮助。