多元有理插值的计算机数学理论和算法

Rational interpolation is an important branch in numerical analysis and applied mathematics. It has many significant applications in approximation theory, CAGD, numerical integration, numerical solution of differential equations, etc. In contrast to the wide study and complete theory of univariate rational interpolation, the theory and related algorithms of multivariate rational interpolation are far from complete due to the difficulties in characterizing its complex behaviors. Most of the current achievements in this field are based on continued fraction. The applicant and his collaborators have studied multivariate rational interpolation from a constructive algebraic point of view. As a result, they generalized the Fitzpatrick algorithm to rational interpolation and present a Neville-like algorithm. In this project, based on the theory of module and Groebner basis, the applicant will continue the study of multivariate rational interpolation, design stable and efficient algorithms to solve it.

有理插值是数值分析中的一个重要分支，它在逼近论、CAGD、数值积分、微分方程数值解等方面有着重要应用。与一元有理插值已经得到广泛研究和较为完善的理论体系相比，多元有理插值因插值结点的几何分布差异，问题远比一元情形复杂得多。其基本理论如存在性、唯一性、误差分析等远没有一元情形成熟，且插值函数的构造方法大都基于连分式理论。申请人及其合作者从构造性代数几何的角度研究有理插值问题，并给出了多元有理插值的Fitzpatrick-Neville型算法。本项目将继续采用模及其Groebner基的理论和方法研究多元有理插值问题，给出若干实用有效的函数构造和数值计算方法。

有理插值是数值分析中的一个重要分支，也是最常用的逼近方法之一。它在CAGD、逼近论、微分方程数值解、探月工程、军工科技中得到广泛应用。与多项式插值相比，有理插值能反应函数的一些固有特性，并且在相同复杂度下，有理插值函数可以实现比多项式插值函数更精确的逼近。特别是在雷达探测和识别工程中，以抗阻矩阵为插值对象，与分段多项式（样条）相比，有理插值所得到的结果效果更好，且所需的插值节点较少。但是与多元多项式插值已经得到广泛研究和成熟理论体系相比，多元有理插值的理论和算法因其自身的复杂性还远未得到完善和进一步发展。已有结果大都基于连分式理论或解线性有理插值系统。项目负责人利用计算机数学的理论和方法研究有理插值问题，给出若干有效方法。. 以最小的计算代价计算出函数在指定节点处的函数值或导数值是插值的基本任务之一，不可达点的判定无论在理论上还是在实际应用中都将是有理插值难以避免问题。Sylvester子结式是处理一元有理插值问题的计算机数学方法之一，且可以给出显式的计算公式。我们利用Newton插值基函数对计算一元有理插值问题的Sylvester子结式法进行修正，从而建立了Newton插值多项式与有理插值函数的分子、分母之间的联系，同时该算法还可以直接判断出该插值节点是否为不可达点。在此基础上，给出了求二元有理插值函数的子结式法，该方法可以实现直接计算插值函数在指定点的函数值，而不必计算出插值函数的解析形式。在实际应用中，获得的数据往往是非精确的，我们给出了稳定的有理插值Newton基的定义。在此基础上对有理插值的Fitzpatrick-Neville型算法进行修正，从而构造出有理插值的稳定的Newton基。对于二元重心有理插值问题，弱化了Nguyen等提出的限制条件，使得二元重心有理插值格式更加灵活。. 项目所取得的结果，对于多元有理插值理论及其算法的拓展与完善取得了一些很有意义的结果。