平面凸区域的动力学谱刚性

One can associate to a planar domain two types of spectra: the Laplace spectrum consisting of eigenvalues of a Dirichlet problem and the length spectrum consisting of perimeters of all periodic orbits of a billiard problem inside the domain. The Laplace and the length spectra are closely related, and generically the first determines the second. M. Kac (1966) asked “Can you hear the shape of a drum?” which arouses numerous studies in the inverse spectral problem that whether the spectra determines a domain. While counterexamples are given by some non-convex domains，affirmative partial results have been found, mostly in real analytic realm. Many basic problems concerning convex domains remain open and far from being resolved...In this project, we are going to study the spectral rigidity problem of planar convex domains in smooth case. We work with the length spectrum given by billiard table from dynamical aspects. We will further develop the previous approaches in a recent breakthrough by the applicant and collaborators for spectral rigidity of symmetric closed to disc domains, to investigate more general rigidity results for (generic) symmetric domains, domains closed to disc and ellipses. This will help partially answer P. Sarnak’s conjecture about spectral classification of planar domains.

一个平面区域可以赋予两种类型的谱：由带狄氏边界的特征值构成的拉普拉斯算子谱，以及由区域内部的弹球映射的周期轨长度构成的长度谱。这两种谱紧密相关，且前者在通有性意义下决定后者。M. Kac 于1966年提出了经典的听音辨鼓问题（反谱问题），即区域的谱信息是否能够完全确定区域的形状。这个问题的少数已知反例均为非凸区域。在寻求该问题正面答案的研究中，目前大多数的结果都是对实解析的区域给出的。这个领域仍有很多基本的开放性问题远未解决。..在本项目中，我们将重点研究光滑（非解析）的平面凸区域的谱刚性问题。我们主要从动力系统方面研究由弹球映射给出的长度谱。在最近的工作中，申请人及其合作者证明了对称的近圆区域的谱刚性。基于这项工作中发展的方法，我们将进一步研究通有的对称性区域，近圆和近椭圆区域的谱刚性。这对回答P.Sarnak关于平面区域的谱分类的猜想具有重要意义。

本项目主要研究平面凸区域的反谱问题，即平面凸区域的Laplace算子谱或者在区域边界上的弹球问题的长度谱是否能够唯一决定该区域的形状？也称为听音辨鼓问题。这个经典的问题最早可追溯到二十世纪初大物理学家洛伦兹的演讲，他提出声音的高频部分可以决定鼓的面积。1966年，M.Kac正式提出声音是否可以决定鼓的形状。这方面的研究一直进展缓慢，特别是对光滑区域的研究。直到2017年项目负责人及合作者给出了光滑框架下的首个突破性结果，证明了有限次光滑的近圆对称区域具有谱刚性。本项目在此基础上进一步研究了非对称区域的谱刚性情况，尝试推广之前的发表在Annals上的结果，证明了在某种非退化性条件下，近圆非对称区域具有谱刚性。这是首个不需要非对称性的部分结果。另外，同时首次开展了对外弹球系统谱刚性的研究，对近圆对称区域的外弹球系统的谱刚性取得了阶段性的研究成果,初步证明其谱刚性。