特殊流形和平面区域上的Laplace谱计数函数

In planar domain，there exists Weyl asymptotic formula for the Laplace operator. It contains the main term of order two which related to the area, a one order term which related to the perimeter, and an error term which is under one order conjectured by Weyl. These formulas are valid for many manifolds and domains and the forms are similar. The terms in the asymptotic are closely related to the geometric properties of the manifold, which are the research priority of spectral geometry over the past 100 years.. In this project, we focus on the asymptotic of spectral counting function of the Laplace operator on some special manifold and planar domain. The main method is to convert the spectral counting function to a lattice counting problem on some domain, then use the result of the lattice problem to reveal the properties of spectral counting function. The idea of this method can be retrospect to A.Einstein's research on quantization in 1917 and many further developments have been made in recent decades. We consider the method of the converting of spectral counting function to the lattice problem on the annulus, ellipse and some special manifolds, and get the further properties of the error term in spectral asymptotic by the error term of lattice problem, then understand the geometric information of the manifolds and domains.

在平面区域上，Laplace 算子谱计数函数具有 Weyl 渐近。它由一个与面积相关二阶主项，一个与周长相关的一阶项，以及一个 Weyl 猜测阶数为次一阶的余项组成。这个公式在各类流形和区域上均成立，并且具有类似的形式。渐近中的各项均与流形的几何性质紧密相连，是近一百年来谱几何研究的重点。. 本项目主要研究一些特殊流形或区域上 Laplace 算子谱计数函数的渐近。我们的主要方法是将这些流形或区域上的谱计数函数转化为某些区域的格点问题，再利用格点问题的结果，来研究相关谱计数函数的各种性质。这类方法思想可以追溯到 A.Einstein 在1917年关于量子化的研究之中，并在最近几十年被进一步发展。我们将主要关注圆环、椭圆等欧氏区域及一些特殊流形上的谱计数函数到格点问题的转化方法，并通过研究格点问题余项来得到谱渐近余项的进一步刻画，从而更深刻理解相关流形或区域的几何信息。

本项目主要研究了平面区域上Laplace算子谱计数函数的渐近公式。该谱渐近公式最早由Weyl证明，它由一个与面积相关二阶主项，一个与周长相关的一阶项，以及一个Weyl猜测阶数为次一阶的余项组成。首先，我们关注了Weyl渐近的证明，研究了Weyl早期的“切割粘贴比较法”，给出了Weyl渐近在高维区域情形的详细证明。与此同时，我们该渐近公式余项的阶数进行了研究，通过研究Bessel函数的零点渐近，并引入数论中处理格点问题的方法，我们将平面圆盘和圆环的Weyl渐近余项阶数改进到了131/208。基于前面工作中对圆盘、圆环特征值性质的了解，我们进一步研究了它们的重数上界，证明了圆环的内、外环半径之比为代数数，则其Dirichlet特征值重数不超过6的结果。