Calabi-Yau 三流形中的孤立有理曲线研究

Calabi-Yau threefolds are important objects in both mathematical physics and algebraic geometry. Since there are many different topological types of Calabi-Yau threefolds, the study of some relations of different Calabi-Yau threefolds are very important. This proposal will use homogeneous coordinates on toric varieties and develop some related deformation properties to study conifold transitions of Calabi-Yau threefolds. Our main interests concentrate on the following questions: 1. The existence of isolated rational curves with given homology class in complete intersection Calabi-Yau threefolds in toric varieties; 2. Conifold transitions of complete intersection Calabi-Yau threefolds in toric varieties. 3. Moduli space of complex structures on connected sums of S3S3.

Calabi-Yau 三流形是数学物理和代数几何中的重要研究对象。由于Calabi-Yau三流形的拓扑类型众多，因此研究这些拓扑结构不同的Calabi-Yau三流形间的关系对于认识这类流形的结构非常重要。 本项目将利用toric variety 上的齐次坐标以及形变理论研究toric variety 中的完全交Calabi-Yau 三流形的锥形变换（conifold transition），考察这些Calabi-Yau 三流形中的孤立有理曲线。我们的主要兴趣集中在以下几个问题： 1.讨论Toric variety 中完全交Calabi-Yau 三流形中具有指定同调类的孤立有理曲线的存在性； 2.试图证明toric variety 中处于一般位置的完全交Calabi-Yau 三流形均可以通过锥形变换成为三维球面乘积的连通和； 3. 对于三维球面乘积的连通和上复结构的模空间做一些考察和讨论。

本项目在实际执行过程中与计划书内容相比有所改变。我们系统研究了一类分歧在超平面排列上的射影空间的循环覆盖得到的Calaib-Yau 流形族。在一系列文章中，本项目负责人与合作者得到了这类Calaib-Yau 簇的保持典范类的奇点消解，研究了这类代数族的周期映射，构造了由三维球商参数化的完备Calabi-Yau 三流形的族。作为本项目资助期间最重要的研究成果，本项目负责人与合作者计算了前述Calabi-Yau 流形族的代数单值化群，从而否定了Dolgachev 的一个猜想。