关于流形的一些几何与拓扑问题

本项目拟进行以下几方面的研究：一：四维流形和纽结理论，特别是曲面嵌入四维流形的相关问题，纽结不变量以及拓扑图论的有关问题，以及规范理论和Floer同调等；二：非欧几何和空间形式中的子流形的研究；三：紧李群及Kac-Moody群及其齐性空间的几何和拓扑，包括与它们相关的一些重要流形和代数簇上的Schubert分析，包括广义上同调理论，等变上同调，量子上同调和算术上同调等；四：与Ricci流相关的一些问题，如利用Ricci流研究双截曲率非负的Kahler流形的性质，Ricci流和黎曼流形的塌缩理论的联系。五：Alexandrov 几何。这些大都是与其它数学分支联系密切，引人关注的问题。其研究需要综合运用代数，几何，拓扑，分析等多方面的工具和方法，很有意义，值得研究。

本项目研究了关于流形的拓扑和几何的一些重要课题。其中主要包括：1.纽结的不变量；2.非欧几何和空间形式中的子流形的研究；3.紧李群及Kac-Moody群及其齐性空间的几何和拓扑，包括与它们相关的一些重要流形和代数簇上的Schubert 分析；4.与Ricci 流相关的一些问题，如利用Ricci 流研究双截曲率非负的Kahler 流形的性质；5.Alexandrov 几何。这些课题都是现代数学中重要的课题。这些方面的研究也被国内外学者广为关注。.在本项目执行的四年时间里，项目组成员通力合作、辛勤工作，取得了丰硕的研究成果，其中主要有：1.证明了区域交叉变换对于一个链环投影图是一个解结操作当且仅当该链环是恰当的，由此给出了一个计算恰当链环Arf不变量的新方法；2.引入了虚纽结实交叉点的指标。利用这一指标，我们定义了一个odd writhe多项式，这一指标被国际同行广泛引用，并得到了进一步的延伸和推广；3.定义了纽结的正quandle不变量；4.确定了双曲几何中的圆锥截线的度量几何分类与完全不变量系统；5.研究了空间型中的正螺面，并证明其为极小曲面；6.给出了对偶Schubert多项式的定义，证明可以通过带权重的Ehresmann图来计算；7.研究了旗流形的Poincare级数，完全解决了Kac-Moody群及其旗流形的有理上同调的计算问题；8.研究了Kac-Moody群的Weyl群的不变量，证明并推广了Moody关于Weyl群不变量的重要猜想；9.利用Ricci流得到了具一致正迷向曲率和有界几何的完备非紧四维黎曼流形和orbifolds的分类；10.对orbifolds包括紧但奇点不孤立的情形，得到了具正的横截正交双截曲率的Sasaki流形的分类，提出并研究了一类新的几何流即横截Chern-Ricci流；11. 给出了Perelman等人的几乎等距定理的直接证明；12.利用Toponogov比较定理建议了一个几何中重要的面积比较定理；13. 把黎曼几何一些经典的定理推广到完备Alexandrov空间。.以上结果有些解决了已有的问题和猜想；有的给出了理解已有问题的新的观点和视角；有的给出了新的定义和构造。通过这些工作，增加了人们对于相关学科中一些重要课题的理解，扩展了这些学科中的知识。