齐性空间和纽结的同调不变量

In this project we study the homological invariants of homogeneous spaces and knots.The research content has the following two aspects. The first is the cohomology of Kac-Moody groups and their homogeneous spaces(especially the flag manifolds). It contains: 1. The computation of rational cohomology, mop p cohomology and the corresponding Hopf algebra structure; 2. Generalized cohomology theory, in particularly the K - theory and the cobordism theory; 3. T-equivariant generalized cohomology theory and so on. The second is the cohomological invariants in Knot theory. The research focuses on the knot quandles and the cohomology theory of general quandles and its application in low dimensional topology. It contains: 1. The characterization of homomorphisms from knot quandle to finite quandles. 2. The topological interpretation of quandle cocycle invariants. 3. The applications of positive quandle homology in knot theory. 4. The calculations and applications of the homology of a multi-quandle with right distributive products.These problems are closely related to other branches of mathematics and are interesting. The research needs to integrate the tools and methods in algebra, geometry, topology, representation theory and combinatorics, so is very meaningful.

本项目研究齐性空间和纽结的的同调不变量，研究内容有以下两个方面：一、紧李群及Kac-Moody群及其齐性空间（特别是旗流形）的同调的计算。其中包括有理上同调和模p上同调及其上的Hopf代数结构的计算；广义上同调理论，主要是K-理论和配边理论；T-等变的广义上同调理论等等。二、纽结理论的同调不变量。研究主要集中在纽结对应的quandle和一般quandle的同调理论及其在低维拓扑中的应用。主要关心以下问题： 1. 纽结quandle到任一有限quandle同态的判定问题；2. quandle同调不变量的几何拓扑解释； 3. 正quandle同调群在纽结理论中的应用；4. 多个满足右分配律二元运算的quandle同调群的计算及其应用。上述研究都是与其它数学分支密切联系，引人关注的问题。其研究需要综合运用代数、几何、拓扑、表示论和组合等多方面的工具和方法，很有意义。

本项目研究齐性空间和纽结的同调不变量。研究内容有以下两个方面：一、Kac-Moody群及其齐性空间（特别是旗流形）的同调的计算。其中包括有理上同调和模p上同调及其上的Hopf代数结构的计算，Kac-Moody群的分类空间的上同调等。二、纽结的同调不变量等。研究主要集中在纽结对应的quandle和一般quandle的同调理论及其在纽结理论和低维拓扑中的应用。..在Kac-Moody群及其齐性空间的研究中，我们证明了generic的Kac-Moody群的有理同伦群在Samelson乘积下构成的李代数是自由李代数，并计算出相应分次李代数的每个次数的齐次生成元的个数，确定了相应的有理同调Hopf代数；构造了谱序列来计算Kac-Moody群的分类空间的上同调群；给出了秩为3的Kac-Moody群的分类空间的有理和mod p同调的计算结果；证明了极大环面到Kac-Moody群的包含映射诱导出的分类空间的上同调同态的核为幂零子环，像恰好为Weyl群的不变量子环；计算了经典的仿射Kac-Moody群的Weyl群不变量；证明了秩大于2的不定型Kac-Moody群及其旗流形的上同调环是无限生成的。这些结果将丰富人们对Kac-Moody群及其相关空间的拓扑的理解，并引发进一步的研究工作。..在纽结理论及Quandle的研究中，我们在虚弦链环上定义了两种多项式不变量，证明了它们可以区别手性并且是同伦不变量；对于两个分支的虚弦链环，定义了一个超越函数型不变量；定义了一类取值于平坦虚链环生成的Z-模中的虚纽结不变量，这种不变量包含了更早期的一些不变量；证明了这类不变量是一阶的有限型不变量；证明了当系数群取整数加群时，quandle cocycle不变量和positive quandle cocycle不变量均会退化到quandle染色不变量；利用biquandle cocycle，定义了一类新的虚链环弦的指标，并将弦指标的定义从单分支的虚纽结推广到了任意分支的虚链环。引入了indexed quandle的概念，并利用其定义了一类新的虚纽结染色不变量；研究了带基点平面树的plucking多项式，给出了一个多项式能够实现为一个带基点平面树的plucking多项式的充分必要条件和两个平面树具有相同的plucking多项式的充分必要条件。..上述研究内容与其它数学分支联系密切，很有意义。