具有数论背景的组合恒等式

组合恒等式是组合数学的重要研究对象，与数论相关的恒等式往往优美、深刻，并且有着广泛的应用。不同分支的融合与交叉是数学发展的趋势，本项目将组合数学与数论相结合，研究具有数论背景的组合恒等式的发现与证明，主要包括：.1. 组合序列的同余等式。我们将研究各类组合序列及其和式的同余性质，考察其系统证明方法，运用这些方法得到新的同余性质。.2. 与数论相关的组合恒等式。我们将研究这些组合恒等式的代数、组合证明方法及其机械化，并探索如何把组合恒等式用于发现和证明相关的数论性质。.3. q级数等式与数论方法。我们将把q级数等式与二次域、模形式等理论和方法结合，研究构造和证明q级数等式的新方法。我们还将考虑q级数等式与数论方法结合证明同余性质。

本项目主要研究具有数论背景的组合恒等式，主要进展包括：.1. 将经典的Zeilberger算法扩展到相似超几何项上，新的算法不仅能够证明一些复杂等式，而且为正交多项式的计算提供了有力工具。.2. 给出了计算一类偏序集分拆生成函数的系统方法，从而实现了偏序集序列生成函数的自动计算。.3. 利用组合方法给出了4长禁排的最后两种未知情况的计数公式，从而彻底解决了4长禁排的Wilf等价问题。.4. 提出了二次型系数的零化性质，为研究l正则分拆的同余性质提供了新方法。.5. 综合运用q级数等式和半整数权模形式，给出了overpartition模5的同余性质。