组合序列的同余性与单峰性

We focus on proving congruences and unimodality of combinatorial sequences by the method of symbolic computation. The congruences and unimodality of combinatorial sequences have been the frontiers of combinatoris. The symbolic computation will provide new ideas and tools for the study. In this project, we will mainly consider the following problems...1. The congruences of the coefficients of q-series. We will utility the theory of modular forms to accomplish the automatic discovery and proof of q-identities, and then set up related congruences...2. The congruences of sums of combinatorial sequences. We will try to set up the automatic proof theory on finite fields so that we can give a systematical method for proving combinatorial congruences. Along this approach, we will prove a series of related conjectures...3. The unimodality type problems. Based on the symbolic computation of asymptotic estimations, Taylor expansions and the cylindrical algebraic decomposition, we will consider the asymptotically unimodality type problems and unimodality type problems...We expect to provide some creative methods and obtain some significant results in related fields.

我们主要利用符号计算的方法研究组合序列的同余性质与单峰型问题。组合序列的这两类性质是近年组合数学研究的前沿领域，而符号计算方法将为它们的研究提供新的方法与工具。本项目将重点研究以下问题：..1. q级数系数的同余性质。将借助模形式理论，实现q级数变换的自动发现和证明，从而建立相关的同余等式。..2. 组合序列部分和的同余性质。将研究有限域上的机器证明理论，给出证明组合同余式的系统方法，证明一批相关的猜想。..3. 渐近单峰型问题。将利用渐近估计、Taylor展开、柱形代数分解的符号计算，研究组合序列的渐近单峰型与单峰型问题。..我们力争给出若干创新性的方法，在相关的研究上取得重要进展。

通过本项目的实施，我们成功给出了证明序列高阶对数凹凸性和组合同余式的机械化方法，实现了多个相关结果的自动证明。.序列的单峰型问题是指研究序列自身或者其变形序列的符号问题，其本质是证明关于组合序列的不等式。单峰型问题具有深刻的应用，例如关于zeta函数的Turan不等式与黎曼猜想有关。此前该问题的研究主要基于技巧，而我们针对满足多项式系数递推关系的序列，给出了证明高阶对数凹（凸）及Turan不等式的机械化方法，证明了多个猜想。相关结果发表在符号计算领域最高级别期刊《J. Symbolic Comput.》上。我们还将该方法应用于经典的分拆函数p(n)，证明了其无穷阶渐近对数凹性并具体计算出N使得{p(n)}n>N是二阶对数凹的。.组合序列的同余性质是组合与数论的交叉研究课题，其证明往往需要构造复杂的组合恒等式并利用多种同余技巧，而我们则给出证明和发现其同余式的机械化方法。我们主要考虑了组合和式的超同余式，即模素数的高次方的同余式，给出了几类超同余式的符号证明方法。.与组合同余式密切相关的一个问题是关于π级数，即求和为关于π的有理函数的级数，这些级数的部分和往往满足很好的同余性质。我们给出了构造这些级数的一种机械化方法，推导得到了多个新的π级数。进一步，我们提出并证明了若干π级数的q模拟等式，为q模拟提供了新的方向。