具有自回归条件异方差形式的模型下的期权定价

As we know, the option pricing theory has achieved a great success after the seminar work of Black and Scholes (1973). However, their option pricing model exhibits some systematic bias. People attribute these bias to their irrational assumption that the volatility is a constant. Duan (1995) first applied the GARCH model for option pricing. But, Duan's model can not solve the following problems. First, GARCH model can not character the asymmetry in asset return; second, .the innovation in Duan's model is standard norml, and hence its skewness and heavy-tailedness can not be modelled. third, the continuous limit of GARCH model can not character the jump in volatility. This project will apply the general ARCH-type model to option pricing, and hence it makes the aforementioned problems be solved. Based on this, our project will also consider the numerical algorithm in option pricing formula, and use our new models in practice. This will finally provide lots of valuable experience for the development of China's financial derivative market.

正如我们所知道的，期权定价理论在Black 和 Scholes (1973)的经典工作后已经获得了巨大的成功。然而，他们的定价模型会有一些系统偏差。人们认为这些系统误差起因于Black 和 Scholes模型中关于波动率为常数的假定是不合理的。Duan (1995) 首先将GARCH 模型运用到期权的定价中。然而，他的模型并不能解决以下的几个问题。第一， GARCH模型不能刻画资产回报率的非对称性；第二，Duan (1995) 假定误差项为标准正态，因而不能刻画误差项的非对称重尾性； 第三，GARCH模型的连续极限不能刻画波动率的随机跳。本项目旨在将具有一般ARCH形式的模型运用到期权定价中，从而使得让以上三个问题得到解决。在此基础上，本项目也会考虑期权价格的数值算法， 并将得到的这些新的期权定价方法应用到实际中。这最终将为我国衍生品市场的发展提供大量有用的经验。

研究衍生品的定价具有重要的实际意义。传统的方法是Black和Scholes (1973) 的定价方法，但是此方法忽略了模型误差的重尾性和非对称性。本项目发展了一套适用于具有重尾和非对称的模型误差的衍生品定价方法，并进一步研究了相关模型的估计和检验性质，因此具有广泛的应用前景。具体来讲，本项目主要在以下四个方面展开了深入研究。第一，我们研究了重尾和非对称模型误差下的衍生品定价。通过采用Gerber和Shiu (1994) 中的方法，我们构造了一个风险中性Esscher测度Q，并在此测度下给出了衍生品的定价方法。此新方法不仅允许资产回报率服从更一般的条件均值和条件方差模型，而且允许模型误差具有非正态分布。关于标准普尔500的实例分析表明，我们的定价方法可以很好刻画隐含波动率中的非对称性，而Black-Scholes的方法则不能刻画此非对称性。第二，我们研究了重尾和非对称模型误差下的稳健估计。对于具有重尾和条件异方差误差的ARMA 模型，如何对其进行有效的统计推断是一个比较困难的问题。我们基于最小偏差估计（LADE）的方法为这一问题提供了一个有效的解决方案。另外，对于具有重尾和非对称误差的GARCH模型，我们构造了一个伪极大皮尔森似然估计，并证明了此估计的相合性和渐近正态性。我们的稳健估计方法同时考虑了误差的非对称性和重尾性，并且不需要人为假定误差的分布来保证它的渐近正态性。第三，我们研究了重尾和非对称模型误差下的拟合优度检验。在衍生品定价方法中，如何对资产回报率的时间序列模型进行拟合优度检验是非常重要的研究课题。对于ARCH类模型，我们通过检验误差符号的自相关性构造了一个混合检验统计量来推断模型是否拟合充分。这种新的混合检验统计量只需要误差具有有限的分数阶矩，因此适用于具有重尾误差的模型。第四，我们研究了相依模型误差下的拟合优度检验。对于具有相依误差结构的ARMA模型，我们构造了一种新的基于随机权重的自助法来估计混合检验统计量的渐近方差，并在一定条件下，严格证明了此方法的有效性。此新方法的特点是不依赖于人为选取参数。进一步，我们运用并发展了一种blockwise随机权重的自助法来估计谱检验统计量的渐近方差，并在一定条件下证明了它的有效性。通过对以上四个方面的研究，本项目得到了一系列的有用结果，共完成和正式发表了12 篇SCI 期刊论文。