指数型局部双倍度量测度空间上的与算子相关联的局部Hardy空间的研究

This program is devoted to study local Hardy spaces associated to operators on exponentially locally doubling metric measure spaces. Such local Hardy spaces can be introduced respectively in terms of the local Lusin area integral function, local Littlewood-Paley function, local non-tangential maximal function, local radial maximal function, or local atoms associated to the given operator. Under the assumption that the heat kernel of the operator satisfies the local Gaussian upper bound estimate, we shall investigate the equivalence between these local Hardy spaces.

本项目拟研究满足指数型局部双倍条件的度量测度空间上的与算子相关联的局部Hardy空间。这样的局部Hardy空间可以通过与算子相关联的局部Lusin面积积分函数、局部Littlewood-Paley函数、局部非切向极大函数、局部径向极大函数或者局部原子等来定义。在假设算子的热核满足局部Gauss型上界估计的前提下，我们将考察通过这几种不同方式定义出来的局部Hardy空间之间的等价性。

指数型局部双倍度量测度空间包括Ricci曲率有下界的黎曼流形、非紧对称空间、Damek-Ricci空间以及体积呈指数增长的李群等。在这样的度量测度空间上建立与算子相关联的函数空间理论，对于研究其上的调和分析问题具有重要的意义。然而到目前为止，国内国际在这一方向上的研究结果仍然比较少。本项目研究了指数型局部双倍度量测度空间上的与算子相关联的局部Hardy空间，具体取得了如下结果：（1）在假设算子的热核满足局部Gauss型上界估计的前提下，我们借助局部Lusin（面积）函数，在指数型局部双倍度量测度空间上引入了算子相关联的局部Hardy空间；（2）得到了此类局部Hardy空间的Littlewood-Paley等价刻画；（3）得到了指数型局部双倍度量测度空间上的一个谱乘子定理，这个定理对于研究此类度量测度空间上的与算子相关联的局部Hardy空间上的谱乘子具有重要意义；（4）对分层李群这个具体例子，我们对其上的函数空间做了更为详尽的研究。