局部倍测度空间上的函数空间与算子有界性

Gauss测度空间和ax+b-群上的分析在概率论、量子力学和黎曼几何等学科中有着重要应用.这两类底空间仅局部地满足Coifman-Weiss意义下的倍测度条件.申请人及其合作者已建立了Gauss测度空间上的BLO空间理论并给出了BMO空间关于分数次积分及其交换子的等价刻画；构造了ax+b-群上的二进方体，并应用到二进Hardy 空间和谱乘子有界性的研究中.本项目拟进一步建立以Gauss测度空间为模型的局部倍测度空间上适合Ornstein-Uhlenbeck算子的Hardy空间实变理论，其中包括面积函数和各种极大函数等实变特征，并将其应用到与Ornstein-Uhlenbeck算子相关的Riesz算子、分数次积分和虚数次幂等算子有界性的研究中；建立ax+b-群上的Hardy空间实变理论，并将其应用到奇异积分和分数次积分有界性、球形Fourier乘子的有界性刻画与波方程解增长的端点估计的研究.

经典调和分析的研究以欧氏空间为底空间. 上世纪七十年代开始, 作为一个新的和更一般的底空间, 齐型空间的兴起为调和分析及算子有界性的研究提供了更为广阔而一般地背景. 另一方面, 源于量子力学和概率论的Gauss测度空间以及源于几何学的ax+b-群则并不在齐型空间的框架下, 但和经典欧氏空间, 齐型空间一起， 它们均为局部倍测度空间. 本课题系统地研究了局部倍测度空间上的一些函数空间实变理论: 建立了局部倍测度空间上的Morrey空间实变理论, 研究了一些极大算子的有界性， 以Gauss测度空间为例建立了相应的奇异积分算子的有界性等；建立了加局部权的非齐型Triebel-Lizorkin空间的一些特征刻画, 原子分解, 以及局部奇异积分算子在这些函数空间上的有界性等. 在齐型空间上, 系统地建立了齐型空间上的多线性算子的有界性. 此外, 在欧式空间上， 建立了多线性算子的Marcinkiewicz插值理论同时获得了最佳常数估计；建立了强Hardy-Littlewood极大算子的加双权有界性的充分必要条件， 并进一步给出了多线性强极大函数的加多线性权有界性的一个充分条件. 这些结果为调和分析中的相关问题的研究提供了新的工作空间和方法.