自仿迭代函数系统的代数共轭系统及相关问题

压缩迭代函数系统是分形几何的一个主要研究对象。对自相似迭代函数系统的研究，结果已经比较完整；而对自仿迭代函数系统的研究，由于各方向的压缩比不同，使得研究起来非常困难。本项目拟研究自仿迭代函数系统的代数共轭系统，并对其分离性质及其他一些相关问题进行研究。我们的目标是定义代数自仿迭代函数系统的共轭系统，并通过对其及共轭系统的Lebesgue测度的研究，试图对Pisot代换动力系统的谱猜测得出相关结果；预计研究自仿迭代函数系统和其共轭系统的分离性质以及其他一些相关问题，并研究这些性质是否可以用于非tiling系统。

对一类代数图递归迭代函数系统，我们提出了其代数共轭系统的概念，这一代数共轭系统为自仿图递归迭代函数系统。我们研究了代数共轭系统的若干相关问题：包括分离性质，tiling性质，周期coding等问题. 我们研究了代数共轭系统什么时候满足开集条件. 对于一类特殊的Pisot系统，我们构造了一个准周期tiling, 将之称为Rauzy-Thurston tiling. 一方面，Rauzy-Thurston tiling将之前G. Rauzy在1982年由代换出发得到Rauzy分形和W. Thurston在1989年由beta-数系统出发得到beta-tiling以及之后的相关研究统一在一个框架中；另一方面，我们研究了Rauzy-Thurston tiling的重数及其分解，特别地，我们提出了极小正规代数解的概念，给出了Pisot谱猜测的一个等价条件. 另外，我们也研究了代数图递归迭代函数系的周期coding. 我们由代数系统与其共轭系统的不变集来定义Rauzy-box, 我们发现具有周期coding的点完全由Rauzy-box来刻画. 除此以外，对于两个满足某些条件的自相似集，我们发现它们的间隔序列与Hausdorff维数存在着某种"等价性"；而它们的自仿嵌入与其压缩比的某种算术性质相关.