Hilbert空间中由Lévy过程驱动的随机发展方程的几乎自守性及相关问题

This project aims to investigate the almost automorphy and related problems for some classes of stochastic evolution equations driven by Lévy processes in Hilbert spaces by applying the theory of stochastic analysis in infinite dimension, operator theory and fixed point principle. The proposal is mainly made up of three parts.First, we will introduce the concept of Poisson almost automorphic stochastic processes, and study the existence, uniqueness and asymptotic behavior of square-mean almost automorphic solutions to stochastic evolution equations driven by Lévy processes. Second, we will focus on the existence,uniqueness and asymptotic behavior of solutions to stochastic evolution equations with (infinite) delays driven by Lévy processes. Third, we will study the existence, uniqueness and asymptotic properties of the two classes of stochastic evolution equations mentioned above in the case of non-autonomous equations, we will further give some concrete applications in stochastic partial differential equations. The proposal involves fundamental problems in stochastic differential equations as well as practical problems in application of stochastic differential equations.

本项目旨在综合运用无穷维随机分析理论、算子理论及不动点原理研究Hilbert空间中由Lévy过程驱动的几类随机发展方程的几乎自守性及相关问题。研究的主要内容分三个部分：一是在提出Poisson几乎自守随机过程的概念基础上，研究由Lévy过程驱动的线性和半线性随机发展方程均方几乎自守解的存在唯一性和渐近行为；二是研究由Lévy过程驱动的（无穷）时滞随机发展方程几乎自守解的存在唯一性和渐近行为；三是研究非自治情形下上述随机发展方程几乎自守解的存在性和渐近行为，并给出其在某些具体的随机偏微分方程中的应用。研究的问题不仅具有随机微分方程中最新的基础性理论问题，也有在随机微分方程相关应用领域中具有重要价值的问题。

本项目主要针对Hilbert空间中随机发展方程的几乎自守性及其相关问题，主要内容如下：.1.给出了Poisson过程的P-th几乎自守性的概念，推广了Poisson均方几乎自守过程。在非Lipschitz条件下给出了Poisson几乎自守函数的分解定理。研究了一类由Lévy过程驱动中立型随机发展方程均方几乎自守适度解问题，给出了其存在性的充分条件，并给出其在一类随机偏微分方程中的应用。.2 研究了一类非自治情形下由Lévy过程驱动的中立型随机发展方程均方几乎自守适度解问题，在非Lipschitz条件下给出了均方几乎自守适度解存在的充分条件。.3 研究了Hilbert空间中一类无穷时滞的中立型随机发展方程。在局部Caratheodory条件下证明了适度解的存在唯一性，进而研究了适度解的均方指数稳定性，给出了其指数稳定的充分条件，为进一步研究由Lévy过程驱动的中立型随机发展方程均方几乎自守解的渐近性提供了方法基础。.4.研究了一类由纯跳Lévy过程和分数布朗运动混合驱动的随机偏微分方程，在一定的条件下给出了全局解的存在唯一性。为下一步继续研究由纯跳Lévy过程和分数布朗运动混合驱动的随机发展方程的均方几乎自守适度解问题奠定了基础。