指标理论，Bergman核及锥奇点

This proposal concerns problems in Atiyah-Singer index theory and several problems in geometry that are related to Dirac operators and conical singularity. These include the study of analytic torsion and intersection R-torsion for manifolds with conical singularity, the study of the heat kernel and the Bergman kernel using the local index theory technique and the study of their relation with canonical metrics, and the study of Ricci flow on manifolds with conical singularity and a class of noncompact manifolds, the ALE spaces (which are manifolds with conical ends)...Analytic torsion has found many interesting connections and significant applications, in Seiberg-Witten theory, moduli spaces of Riemann surfaces, hyperbolic geometry, and mirror symmetry. The Cheeger-Mueller theorem has played an important role in all these. The PI, along with his collaborator and graduate students, would like to prove the Ray-Singer conjecture/Cheeger-Mueller theorem for manifolds with conical singularities which should help us understand more complicated singularities. One of the most important and extensively.studied area of geometry is the study of canonical metrics. Bergman kernels and conical singularity have been esential ingredients in the recent spectacular solution of the Yau-Tian-Donaldson conjecture. This proposal aims for the solution of the Ray-Singer conjecture for manifolds with conical singularity, better understanding of the Bergman kernel, and the Ricci flow on noncompact manifolds. It also explores the connection with positive mass theorems.

鉴于雷-辛格猜想/齐格-莫勒定理，伯格曼核和瑞奇流在几何，拓扑及数学物理等多个领域中的重要作用，本项目将在已完成的项目研究基础上，主要围绕带锥形奇异点空间的雷-辛格猜想，伯格曼核以及非紧空间上的瑞奇流，开展如下几方面问题的研究与探索：.在关于带锥形奇异点空间的雷-辛格猜想方面，将着重在解析绕率与 R-绕率之间的关系，解析绕率在奇异形变下的性状研究及相关的包括解析绕率与模形式关系等问题的深入研究。.在关于伯格曼核方面，将着重在关于奇异空间上伯格曼核的研究和伯格曼核在半正性下的渐近展开及应用的深入研究。最终将与最近在所谓田-丘-唐纳生猜想的突破性发展中扮演极其重要脚色的部分C零估计挂钩。.在瑞奇流方面，将着重于一类重要的非紧空间即渐进平坦空间上瑞奇流的长时间性状和收敛性。这类空间具有物理意义，且和紧致流形相差不大， 因此有希望获得比较完全的了解。最终目标是希望能给出正质量定定理的一个瑞奇流证明

Perelman泛函理论是分析Ricci流奇点的重要工具，Perelman解决Poincare猜想的决定性的第一步。我们和王长亮合作，发展了带弧立锥奇点流形上的Perelman泛函理论．此工作关键在于研究一类奇异Schrodinger 算子的谱理论及其特征函数在奇点的渐近态。其建立和分析借助于加权Sobolev空间。此项工作发表在J. Geom. Anal.。在此基础上， 我们和王长亮合作，发展了带弧立锥奇点流形上的Perelman的W泛函理论。W泛函的Euler-Langrange方程是非线性的。 Hardy不等式在此起着关键的作用。此项工作被Math. Research Lett.接收待发。此两项工作建立了带锥奇点流形上的分析，为后续研究锥退化以及Ricc流打下了基础。.另一方面，我们研究了锥形奇点和orbifold 奇点的关系。证明了偶数维带orbifold上的上同调及热核和作为锥奇点的上同主调及热核的等价性, 由此得到其解析绕率的相等。此工作和俞剑青合作，发表在Math Z. 。更进一步， 和京都大学Yoshikawa 合作，我们探讨了全纯绕率在锥形退化下的性状。由此得到关于某类带锥奇点空间上的全纯绕率和Borcherds模形式之间的关系。预计几个月内完成论文。.流形上的分析中绝大部分需要Sobolev常数的估计。在上面提到的几项工作中都起着重要的作用。我们和韦国芳和张振雷合作，研究了局部Sobolev常数在Ricci曲率的积分下界下的估计。此工作及其应用发表在Adv. Math 。.最新科研主要集中在一类重要的奇异空间，所谓的RCD空间。此类空间最近引人注目，研究非常活跃。和Connell，Nunez-Zimbron， Perales， Suarez-Serrato及Wei合.作，我们展开了对RCD空间上重要的几何不变量，体积嫡，的研究。 关于光滑流形的体积嫡的重要性，可以从它的一系列刚性结果看出。 它们包括了著名的Mostow刚性定理。我们证明了Ledrappier-Wang的刚性定理在RCD空间上的推广， 也就是所谓的极大体积嫡刚性定理。 此文章已放在arXiv上并投稿。更重要的是BessonCourtois-Gallot的刚性定理, 也就是所谓的极小体积嫡刚性定理。它有很多非常重要的应用。 我们在这已有重要的突破。