李理论及其应用

研究高秩扩张仿射李代数的结构与表示，包括具有Jordan、Cayley坐标代数与量子环面坐标代数的无限维李代数；研究顶点算子代数的表示, 有理顶点算子代数的分类，及有理性和C(2)有限性之间的联系；研究量子顶点算子与可积模型，尤其是超对称可积模型，边界可积模型的关系；探索扭曲边界条件与非交换性的关系，以及与Langlands对偶的关系；利用Ring-Hall代数实现量子群以及可积最高权模的canonical基；研究非A-型q-Fock空间，进而证明一般型的仿射q-Schur代数的分解猜想；研究导出范畴的分层结构和管子突变的代数性质和几何性质；利用导出范畴研究扩张仿射李代数的结构和自同构；研究具有三角分解的有限生成无限维李代数的Whittaker表示。关于李群表示论，利用上同调诱导构造仿射对称空间的函数空间中奇异的不可约子空间；利用广义函数证明实约化群表示模型的唯一性。

典型群重数一猜想是典型群表示论中的一个重要问题。我们证明了实典型群的重数一猜想、Bessel模型的唯一性、p-进辛群的重数一猜想，及p-进正交群-辛群的theta对应重数保守猜想。我们还证明了实四元数典型群MVW对合的存在性，及p-进四元数典型群MVW对合的不存在性。建立了实Jacobi群光滑表示和矩阵系数的基本理论；顶点算子代数理论中有理VOA的分类是该领域的一个核心问题。我们给出了一类moonshine型的有理VOA的分类。同时将中心荷为1 的VOA分类归结为对V_L^G的刻画，其中有限群G为A_4,S_4,A_5。证明了对偶的顶点算子格代数在二阶自同构群下的不动点子代数V_L^+的有理性猜想；关于高维仿射李代数的研究。我们给出了baby TKK代数不可约可积表示的分类。给出了Schrodinger-Virasoro代数酉Harish-Chandra模的分类及其不可约Whittaker模的分类；关于椭圆量子代数的表示理论，我们给出了一种实现方法，得到任意高秩量子椭圆代数的任意-level的表示；关于量子群的典范基我们证明了Nakajima的一个猜想，并利用quiver代数簇给出了仿射典范基的代数实现；我们利用Tubular代数的导出范畴、Ringel-Hall代数、Frobenius映射和folk导出范畴的方法，实现了F_4^{(2,2)}，G_2^{(3,3)}, G_2^{(1,3)}和F_4^ {(1,2)}型椭圆李代数。