径向基无网格方法的一些关键问题及电磁应用

本项目围绕偏微分方程数值解的新方法-基于径向基函数的无网格方法（特别是配置法）的核心问题展开。研究该方法的几个关键问题：插值空间Bernstein类逆不等式和离散后线性方程组的病态问题，为该方法的误差估计、后验估计、矩阵性态分析奠定理论基础，从而为设计合适的区域分解方法、预处理和正则化处理提供基础。作为该方法的应用，本项目也将利用基于标量和矢量径向基函数的无网格方法系统分析计算电磁学中的典型问题、分数阶微分方程及多尺度问题的数值计算。

本项目围绕偏微分方程数值解的新方法－－基于径向基函数的无网格方法（特别是配置法）的几个核心问题：插值空间Bernstein类逆不等式；求解更多的非线性方程而展开；分数阶微分方程。项目执行期内，我们围绕拟定的任务书，完成了以下一些工作：..径向基函数的无网格方法：.1. 我们利用MQ函数拟插值方法，数值模拟了Maxwell方程，并将所得结果同FDTD方法得到的结果相比较，效果还不错；利用 MQ函数拟插值方法数值模拟了非线性薛定锷方程；利用其求解Camassa-Holm及Degasperis-Procesi方程，数值结果是令人振奋的；.2. 分析了径向基函数的理论收敛速度，用于波动方程数值求解，利用线方法分析结果表明至少同有限差分的速度一致；分析了非对称配置法的稳定性，结合Fourier和带限函数等得出了Bernstein类不等式，设计出一种估计最小下确界的方法，得出了配置矩阵条件数的估计；.3. 基于上述分析，考虑一族非线性波动方程，为了给粒子法建立最优的误差估计，分析了具紧支正定非负的Radon测度；粒子法是Lagrange坐标下b－方程的逼近，得出了经典解的短时存在性，唯一性和正则性；.4．另外，我们还考虑了用径向基函数去逼近空间分数阶微分方程。..数学物理反问题方面：.1. 针对这一问题，提出了基于Meyer小波的Galerkin方法，得到逼近解；.2. 本项目基于基本解方法，分别研究了时间分数阶扩散方程和时间-空间分数阶扩散方程的反向问题和Cauchy问题，在数值模拟分数阶扩散方程的基本解部分，采用了逆快速Laplace变换和Fourier变换，结合Tikhonov正则化方法，其中正则化参数由L-curve方法和广义交叉核实确定，数值求解了这些反问题；.3. 针对这一问题，我们提出了基于复几何光学解的正则化方法,这一结果仍然是初步的，项目组成员窦芳芳就这一问题申请到了青年基金项目资助。..数值代数方面：.1.提出Upper AOR迭代法、并研究了p-cyclic情形下Upper AOR迭代矩阵与Jacobi迭代矩阵的特征值关系；.2.研究了后向MPSD迭代矩阵与Jacobi迭代矩阵特征值关系；.3.给出了后向非对称SSOR迭代法与Jacobi迭代法的敛散关系。..再一次说明了理工结合研究的必要性：.一 其为工科提供很好的应用环境；.二 为数学提供更多研究方向。